文档介绍：第一讲欧氏几何学的发展简史及其重建
一、欧氏几何学的简史
几何学的研究始于埃及。这是公元前5世纪希腊历史学家希罗多德(Herodotus)的看法,他认为几何学源自于社会生产的需要。每年雨季到来时,尼罗河泛滥,都要淹没尼罗河流域肥沃的土地,有时会摧毁边界的标记,有时则会改道而冲走许多块土地。由于人们按照耕地的多少来征收农业税,所以为了恢复地界和确定税金,洪水过后需要重新丈量土地。发明快速、精确的方法来丈量耕地显得是埃及人发展几何学的动力。为了满足这些简单的需求,埃及人很快就发展了简单的度量几何学,这部分几何学主要包括他们在测量中所涉及的方法和概念。
这些早期的应用数学家的主要工具之一是可以围成三角形的绳子。事实上,这些早期的测量员(数学家)被称为“司绳”,其中蕴含的想法十分简单。假设一条绳子被等分成(可能用绳结来分)12段。当它围成三角形时,如果一条边长三个单位,另一条边长四个单位、最后一条边长五个单位,那么就构成了一个直角三角形。这条绳子围成的直角三角形的角可以用来做简单的角度测量,绳子本身也是长度测量的一个方便工具。很明显,简单的结绳方法是埃及人进行快速、精确的测量所必需的,他们所应用的这些方法对邻近的希腊人产生了重大的影响。
埃及人对几何的兴趣没有超越实际生活的需要,他们发明了公式来计算某些简单的面积和体积,其中有些公式精确一些,有些并没有那么精确,但是对于实际应用来说,一个好的近似公式与一个精确的公式一样适用,埃及人一般不区分这两类公式。现在对埃及人的数学知识的最详细的了解来源于阿梅斯纸草书和莫斯科纸草书。
在研究三维图形时,埃及人对金字塔的几何性质很感兴趣,例如知道金字塔的地面边长和它的高度,就可以计算出金字塔的体积。这样体积就跟可以长度测量的边长和高度联系起来了,而长度测量往往比体积测量容易得多。
埃及人还讨论了金字塔的其他数学性质,如,已知底面边长和高度,就知道如何计算一个刻画金字塔侧面险峻程度的数值(其实是计算斜面的坡度)。起初,埃及的数学发展十分迅速,埃及人在早期研究了大量的二维和三维的问题,然而它不久便停滞不前了,而且在之后的两千多年的时间里没有太大的改变。肥沃的尼罗河谷,一直被描述为世界最大沙漠中的最大绿洲,被一条最绅士派头的河流所灌溉,地理上的天然屏障保护着一片辽阔区域免遭外人入侵,对那些在很大程度上追求平静安宁、与世无争的生活方式的爱好和平的人民来说,这里就是天堂。对仁慈神诋的爱,对传统的尊重,以及对死亡的专注和死者的需要,这一切助长了这种高度的停滞。
要想看到更进步的数学成就,你必须把目光转向那片更加动荡不宁的江河流域,人们把这里称作美索不达米亚。美索不达米亚位于现在的伊拉克境内,距离埃及约1000英里(1600千米)。它的建筑物不如埃及的著名,那是因为埃及人的坚实的建筑物是用石头建造的,而美索不达米亚人的建筑物是用不耐久的泥砖建成。然而美索不达米亚的数学却比埃及的出名,因为他们用来记录数学知识的泥板比埃及的纸草书保存得要持久得多。有关埃及的数学原始著作仅有极少数幸存下来,而美索不达米亚却有成百上千块数学泥板文书被发现和翻译。不管是埃及数学家还是美索不达米亚数学家对代数学的喜好程度胜于几何学,甚至他们的几何问题也常常带有代数的色彩。
与埃及人相比,美索不达米亚人对于数及计算方法有着更为深刻的理解,所以他们发明了远比同期埃及人更为精确的近似解法,特别是在代数学方面和某些几何问题上,他们得到较为先进的结果。例如,埃及人显然没有意识到毕达哥拉斯定理的一般情形,而美索不达米亚不但在毕达哥拉斯出生前好几个世纪就知道了毕达哥拉斯定理(勾股定理)且能深刻理解这个定理,他们解决许多与之相关的问题,其中一些问题对于当今受过还好教育的人来说也是一种挑战。跟埃及人一样,美索不达米亚人通常对精确解和一个良好的近似解不加区分,而且美索不达米亚数学家对证明他们得到的结果不太感兴趣,他们对从整体上建立一套严格方法来研究几何学不感兴趣。
埃及和美索不达米亚的数学家们主要对发展实用的几何学感兴趣,他们寻求数学公式,并用他们来计算某些已知长度的特殊几何形状的面积和体积。这两地的数学家都寻求数值解来解决计算问题,他们研究的内容是求积几何学,其工作中没有中心思想,也没有发明一套理论系统来编排自己发现的公式。这些工作是在特定时期内解决特定问题的数学,在通常意义上不能称之为数学。一般来讲,对几何学感兴趣的现代数学家们关心的是:从一般原理演绎出更广泛的类型的几何对象的性质。然而这种“现代”的方法其实一点都不现代,它可以追溯到古代所有具有“现代意韵的”文化中最早的数学文化。这就是希腊的数学文化。
埃及人和美索不达米亚人研究几何学的方法,带着具有数学传统的古代文化所共有的特征,但希腊文化除外。希腊的数学方法从一开始就与众不同,它更