文档介绍：长沙学院信息与计算科学系
本科生科研训练
求第二型曲线积分的方法
系(部): 信息与计算科学系
专业: 数学与应用数学

求第二型曲线积分的方法

摘要:“三替换法”化为定积分法;格林公式凑微分法;,,熟悉并掌握各种方法的具体运用.
关键词:第二型曲线积分,斯托克斯公式,凑微分,格林公式,定积分
1 引言
第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分,具有第一型不具有的方向性,计算较为复杂,物理意义十分明显,是变力沿曲线做功的具体反映,,与格林定理,斯托克斯定理紧密相关,,并结合具体实例以及教材总结出其特点,.
2求第二型曲线积分的方法
方法一利用“三替换法”化为定积分[1]
三替换法是指:替换;替换;替换.
根据L的不同形式,有以下三种不同的替换法.
替换
其中上限下限分别对应的起点、终点参数值
(2)替换
(3)替换
其中
图1
例1[3] 为以为顶点的三角形边界,如图1计算
沿逆时针方向.
解如图所示,这是第二类曲线积分.
[2]
在物理学与数学中, 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为 C 且平面区域为 D ,以英国数学家乔治·格林(e Green)命名.
定义[2]:设闭区域D由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有
.
此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系.
以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,,其中C1和C3是水平的直线.
图2
如果我们可以证明
(1)
以及
(2)
那么就证明了格林公式是正确的.
把右图中I型的区域D定义为:
其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:
(3)
现在计算(1)、C2、C3和C4的交集.
对于C1,使用参数方程:,,.那么:
对于C3,使用参数方程:,,.那么:
沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上,x是常数,因此:
所以:
(4)
(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2).
例2[2].用格林公式计算例1中(2)的第二类曲线积分.
解: 显然,:
这比例1中的解法简单一些.
例3[2].计算第二类曲线积分
其中L为从A(-2,0)到B(2,0)沿椭圆的上半部分的曲线.
图3
解:L不是一条封闭曲线,