第二十一章 曲线积分与曲面积分.doc

文档介绍：第二十一章曲线积分与曲面积分
§1第一型线面积分
例1 求,其中是球面与平面的交线。
解法1

解法2 求曲线的参数方程。由,消去,得
即
令,则
于是得到两组参数方程



我们可任选一组,例如第一组。显然,被积函数和都具有轮换对称性,则
解法3 作坐标旋转。就坐标是,新坐标是,旋转角为,则旋转变换的一般公式为
,
因为平面的单位法矢为,则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转,先将平面旋转,得新坐标系;再将平面旋转,得新坐标系。即

由旋转公式得


于是得


在这组变换下,曲线:,变为,,故
注1 三种解法各具特点:
解法1技巧性强,直接利用了几何意义,而不必化为定积分。
解法2常规的方法,即
写出参数方程套公式计算定积分
这里主要难在第一步,写参数方程。通过解法2,给出了一种求参数方程的方法。
解法3先通过坐标旋转,将问题转化为另一个与之等价的问题,再按常规的方法计算。
坐标系下的线积分坐标系下的线积分
写出参数方程套公式计算定积分
在新的坐标下,曲线有简单的参数方程。这个解法表明,可以适当地转化问题,例如作坐标旋转,从而获得简单的参数方程。
§2 第二型线面积分
例1 计算曲线积分
,
(1)是球面三角形,,,的边界线,从球的外侧看去,的方向为逆时针方向;
(2)是球面和柱面的交线位于平面上方的部分,从轴上点看去,是顺时针方向。
解(1)显然,具有轮换对称性,且被积表达式也具有轮换对称性,将分为三段
:, (,)
:, (,)
:, (,)
则
或

注1 这里利用轮换对称性使计算化简,都是写为某积分的3倍。它们的区别在于
第一种方法:积分表达式不变,积分化为上的积分的3倍。
第二种方法:积分曲线不变,积分化为表达式中第一项积