文档介绍：数学大发现三
"虚幻之数"
要让人类接受到一种新数,开始往往是非常困难的,甚至还曾经有人为此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命,但是也在好几个世纪中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话,他说:"负数比无穷大还要大",连后来的大数学家欧拉,也对此深信不疑!直至19世纪时,有些数学家如德·摩根、马塞勒还说负数"十分荒唐",主张把它"从代数里驱逐出去!"
正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的时候,新的问题又来了,他们遇到了一种更为奇怪的数,就是负数开平方。
比如解方程x2+1=0,移项得x2=-1最后解出x儿当然指的是实数)的平方能够等于-1呢?最初遇到这种数的人,是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的,却是文艺复兴时期意大利有名的"怪杰"、三次方程解法获得者之一的卡丹。
卡丹在1545年提出一个问题:"把10分成两部分,使它们的面积是40。"
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他列出方程x(10-x)=40整理后得x-10x+40=0,结果解出这两个根是5嘲地说:"尽管我的良心会受到多大的责备,但是,的的确确5 5差不多过了100年,1637年,解析几何的创始人笛卡儿才给这种"虚幻之数"取了一个名字叫"虚数"(和"实数"相对)。又过了140年,大数学家欧拉还是说这种数只是存在于"幻想之中",并且用i(imaginary虚幻)来表示它的单位牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力,给虚数找到了一个更巧妙的"解释""假设某人欠别人10亩地,即他有-10亩,而这-10亩地又恰好是个正方形,那么它的边长不就是最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话:"圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示,这就是那个理想世界的端兆,那个介于存在与不存在之间的两栖怪物,那个我们称之为虚的-1的平方根。"看,虚数竟成了上不着天、下不着地的"两栖怪物"!
虚数从开始出现以后,经过了两个世纪,还是得不到人们的正式承认。
大家都知道,把一个实数和一个纯虚数相加,得到形式如a+bi的这种数,叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这种数有点虚无缥缈,但又觉得它很有可爱之处。你看,如果不承认这种数,代数方程便有的无解,有的一个解,有的两个解…五花八门,毫无规律可言;如果承认了它,代数方程就都有解,而且n次方程不多不少恰好有n个解!此外,对复数进行代数运算,其结果还是复数(实数和纯虚数只是复数的特例),这样便形成了一个完整的数域。
复数既然有这么多的"优越性",为什么数学家对它总是疑虑层层、迟迟不接受呢?直至19世纪中期,剑桥大学的教授们仍然抱着"厌恶"的心情,对它进行抵制。简单点说,就是因为这种数"看不见",同时也"用不上",缺乏实践的基矗为此立功的是挪威测量学家末塞尔,他找到了复数的几何表示法。众所周知,所有实数都可以用直线上的点来表示,正数用0右边的点来表示,负数用0左边的点表示;无理数如2,可以用单位边长的正方形的对角线长度来表示。因为"看得见",大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现,所有复数a+bi都可以用平面上的点来表示,而且复数a+bi与平面上的点一一对应。这样一来,复数就找到了一个"立足之地",而且开始在地图测绘学上找到了它应用的价值。
同时,数学家又找到了复数的三角表示法r(cosθ+sinθ),其中r叫Q做复数的模,θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法re(e表示自然Q对数的底)。即复数z=a+bi=r(cosθ+isinθ)=re。若令r=1,θ=π,就in iπ可以得到e=1,即e-1=0,这个著名的式子是欧拉得到的,它把数学中五个最重要的数1,0,i,π,e溶为一体,被誉为整个数学中最卓越的公式之一。
复数在几何上找到了它的位置以后,人们对它就另眼相看了。从18世纪末起,以欧拉为首的一些数学家,开始发展一门新的数学分支,叫做复变函数论。大家都学过函数,但在中学里,函数自变量的取值范围仅限于实数。
如果把函数自变量z的取值范围扩大到复数,那么这种函数就叫做复变函数。即复变函数W=f(z),其中z,W都是复数。
一个复数如果可以表示为平面上的一个点,那么自变量z的取值范围就是平面上的一个点的集合,相应的函数W的取值范围却是另一个平面上的一个点的集合。从几何角度来看,所谓复变函数,就是把甲平面上的一个图形A(点的集合)变换成乙平面上的一个图形B(也是点的集合)。研究复变函数性质的这一门科学,就是复变函数论。19世纪以后,由于法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献,复变函数论取得了飞跃的发展,并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学