文档介绍：2012年普通高等学校招生全国统一考试领航卷(四)
数学(理科)
注意事项:
Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
Ⅰ卷时,选出每小题答案后,,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。
Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)复数(是虚数单位)在复平面内的对应点位于
(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)函数是
(A)最小正周期为的偶函数 (B)最小正周期为的偶函数
(C)最小正周期为的奇函数 (D)最小正周期为的奇函数
(3)的展开式中,常数项等于15,则实数
(A)1 (B) (C)2 (D)2
(4)对任意非零实数、,规定的运算原理如图所示,则
(A)
(B)
(C)1
(D)
(5)已知、是不共线的向量,,,则A、B、C 三点共线的充要条件是:
(A) (B) (C) (D)
(6)一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示,则该
几何体的侧面积为
(A)48cm
(B)80cm
(C)100cm
(D)144cm
(7)与直线和圆都相切且半径最小的圆的方程是
(A) (B)
(C) (D)
(8)已知等差数列的前项和为,若,则的值为
(A)10 (B)20 (C)25 (D)30
(9)已知点满足约束条件,若函数(且)图象通过的定点是,则的最大值为
(A)1 (B) (C)2 (D)4
(10)过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点P,若(是坐标原点),则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(11),,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函数,函数,若存在,使得成立,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题,—第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)正四棱椎PABCD的顶点都在同一个球面上,若底面ABCD的外接圆是球的大圆,异面直线PA与BC所成的角是;
(14) ;
(15)过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线,切点分别为、,若是坐标原点,则;
(16)已知函数存在零点,则实数的取值范围是.
三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知△的内角、、所对的边分别为、、,且.
(I)若,△的面积,求、的值;
(II)若,,求的值.
(18)(本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,,为线段上的动点.
(I)求证:;
(II)若四面体的体积为,求二面角的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(I)估计这次测试数学成绩的平均分;
(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,求的分布列及数学期望.
(20)(本小题满分12分)
点M在椭圆上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(II)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有成立,求实数的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
设曲线:(),表示导函数.
(I)求函数的极值;
(II)数列满足,.求证:数列中不存在成等差数列的三项;
(III)对于曲线上的不同两点,,,求证:存在唯一的,使直线的斜率等于.
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多答,