文档介绍：活用定义巧解题
匈牙利数学家G?波利亚在著作《怎样解题》中写道:“回到定义上来是一项重要的思维活动.”定义是数学知识的根基,它揭示了概念的本质,,例如,圆锥曲线的定义不仅阐述了其最本质的几何特征,还直接导出了圆锥曲线的方程. 利用定义解题,能简化代数运算,,我们就谈谈如何利用圆锥曲线的定义,巧妙地求解离心率问题、轨迹问题和最值问题.
求解离心率问题
例1 [2013年高考数学浙江参考试卷(理科)第9题] 如图1所示,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A, ∶ BF2 ∶ AF2=3 ∶ 4 ∶ 5,则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) 2 (D)
解: 设AB=3t,BF2=4t,AF2=5t ,其中t>∠F1BF2=90°.根据双曲线第一定义可得:BF1-BF2=2a,AF2-AF1=2a,又AF1=BF1-AB,所以(BF1-BF2)+(AF2-AF1)=(BF1-4t)+[5t-(BF1-3t)]=4t=4a,解得a=-BF2=BF1-4t=2a=2t,所以BF1=△F1BF2中,F1F2==2t=2c,所以c=t,故双曲线的离心率e===. 选A.
评注: 如果要通过求线段长度得出c和a,由于题中没有给出具体数值,我们可以设A(x1,y1),B(x2,y2),F2(c,0),并根据AB ∶ BF2
∶ AF2=3 ∶ 4 ∶ ,这样解计算量很大,,我们得到了关系式BF1-BF2=2a,AF2-AF1=2a,这就巧妙地回避了“根据坐标求AB,BF2,AF2的长度”的烦琐运算.
用定义法求解圆锥曲线问题是一种最直接、最本质的方法. 什么时候适合用定义法求解呢?当题中涉及焦点三角形或准线时,我们不妨优先考虑定义法.
求解轨迹问题
例2 如图2所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在线段AM上,点N在CM上,且满足=2,?=0,求点N的轨迹方程.
解: 由圆C:(x+1)2+y2=8可知圆C的半径r=2,圆心为C(-1,0),又A(1,0),故AC==2,所以点P为AM的中点. 又?=0,所以NP⊥AM,所以NP为线段AM的垂直平分线. 联结NA可得NA=NM,所以NC+NA=NC+NM=CM=r=,动点N的轨迹是以定点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,且长轴长2a=NC+NA=2,焦距2c=AC=2,解得a=,c=1,所以b2=a2-c2=1,故点N的轨迹方程为+y2=1.
评注: 同学们往往会这样考虑:设N(x,y),M(x0,y0),由点P为AM的中点得P,,将这些点代入已知条件,消去x0,y0,,求解时却因为计算量巨大,,导致陷入了“找到了思路却求不出答案”的尴尬境地.
使用定义法求轨迹时,应根据图形的几何特征和算式的代数结构,合理进行等价转化,再