文档介绍：等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义:,称为公比
2、通项公式:
,首项:;公比:
推广:
3、等比中项:
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前项和公式:
(1)当时,
(2)当时,
(为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义:对任意的,都有为等比数列
(2)等比中项:为等比数列
(3)通项公式:为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义:若或为等比数列
7、等比数列的性质:
(2)对任何,在等比数列中,有。
(3)若,则。特别的,当时,得注:
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
递推公式
;
;
通项公式
()
中项
()
()
前项和
重要
性质
经典例题透析
类型一:等比数列的通项公式
,, ,求.
思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.
总结升华:
①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;
②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。
【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【变式3】已知等比数列,若,,求。
类型二:等比数列的前n项和公式
{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.
举一反三:
【变式1】求等比数列的前6项和。
【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.
【变式3】在等比数列中,,,,求和。
类型三:等比数列的性质
例3. 等比数列中,若,求.
举一反三:
【变式1】正项等比数列中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.
【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。
类型四:等比数列前n项和公式的性质
,已知,,求。
思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。
举一反三:
【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=___________.
【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=?
【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.
【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
类型五:等差等比数列的综合应用
,若前两项不变,第三项减去32,,.
思路点拨:,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.
总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项
a,公比q来解决问题反而简便。
举一反三:
【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.
【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。
【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
类型六:等比数列的判断与证明
{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?
思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型.
举一反三:
【变式1】},=2n+3n,+1-pCn}为等比数列,求常数p。
【答案】p=2或p=3;