文档介绍：2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,满分32分,每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求,把所选选项前的字母填在题后的括号内
(1)极限等于()
1; ; ; .
解题步骤:因为,
所以选。
(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且,则等于()
; ; ; ().
解题步骤:,解得;
,解得
,所以选.
(3)设为正整数,则反常积分的收敛性()
仅与有关; 仅与有关;
与都有关; 与都无关.
解题步骤:显然反常积分有两个瑕点与,
=+,
显然的收敛性与有关,当时收敛,当时发散;
的收敛性与有关,所以此题选.
(4)等于()
; ;
; .
解题步骤:=,
因为,
,
所以
==,
所以此题选。
(5)设是矩阵,是矩阵,且,其中为阶单位矩阵,则
; ;
; .
解题步骤:,
因为且,所以,
又显然,故,所以此题选。
(6)设是4阶实对称矩阵,且,若,则相似于
; ;
; .
解题步骤:令则,因为,即,
所以,从而,注意到是非零变量,所以的特征值为0和-1,又因为为可对角化的矩阵,所以的秩与的非零特征值个数一致,所以的特征值为-1,-1, -1, 0,于是
,所以此题选。
(7)设随机变量的分布函数为,则等于
0; ; ; .
解题步骤:,
所以本题选。
(8)设为标准正态分布的概率密度函数,为[-1,3]上均匀分布的概率密度函数,若,则满足
; ;
; .
解题步骤:,,
因为为概率密度函数,所以,
而
所以,即,所以此题选。
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设,则0.
解题步骤:
=
所以0,所以此题选。
(10)=.
解题步骤:
=
=
(11)已知曲线的方程为,起点为,终点为,则=0.
解题步骤:=.
(12)设,则的形心坐标=.
解题步骤:,
而,
,所以
(13)设,,,若由形成的向量组的秩为2,则6.
解题步骤:
因为由组成的向量组的秩为2,所以6.
(14)设随机变量的分布为则2.
解题步骤:由归一性得,即所以C=。
即随机变量服从参数为1的泊松分布,于是,
故。
三、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.
解:先求方程的通解
由特征方程解得特征根
所以方程的通解为
再求的特解.;
设特解为,则
代入原方程,解得,故特解为
故方程的通解为.
(16)(本题满分10分)求函数的单调区间与极值.
解:
所以
令,则,又
,所以是极大值.
所以为极小值
因为当时,;
时,;
时,;
时,.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由;
(2)记,求极限.
解:(1)当时,
所以,所以,
所以
(2)
所以由,因为=0,
根据夹逼定理可得=0,所以=0.
(18)求幂级数的收敛域及和函数.
解:令,=
则=
==
要使,则,所以时级数收敛;
当时,,由莱布尼茨判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为;
=,其中=,
而,,
所以,故==。
(19)设为椭球面上的动点,若在点处的切平面与
平面垂直,求点的轨迹,并计算曲线积分,其中是椭球面位于曲线上方的部分.
解:令的坐标为,由得在点处的平面法向量为,因为在点处的切平面与平面垂直,所以就有,又因为,所以点的轨迹方程为.
,
将向平面投影,则,
两边对求导得,解得;
两边对求导得,
解得.
=
于是.
(20)设,,已知线性方程组存在两个不同解。
(1)求;
(2)求的通解。
解:(1)已知有两个不同的解,,又,
即,知或.
当时,,此时,无解,
当时,代入有,得.
(2)
则原方程组等价为,即,
所以,所以的通解为为任意常数。
(21)已知二次型在正交变换下的标准型为,且的第三列为.
(1)求矩阵;
(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵。
解:(1)由于二次型在正交变换下的标准型为,所以的特征值为
由于的第三列为,所以对应于的特征向量为
因为为实对称矩阵,所以的不同特征值对应的特征向量正交,令对应的特征向量为,由的对应的线性无关的特征向量为