文档介绍：公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法,就是从尽可
能少的无定义的原始概念 ( 基本概念 ) 和一组不证自明的命题 ( 基本公理 ) 出发,利用纯逻辑推
理法则,把一 r 一 J 数学建立成为演绎系统的一种方法。这里所说的基本概念,是不加定义
的,是真正基本的,它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义,只能用描述的方
法来确定其范围,如点、线、面等等。公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一
种 I}} 述和规定,不是随意可以选定的。一个良好的公理系统,设置公理应当满足三个条件 :
相容性、 独立性和完备性。 一般认为, 公理化的历史发展, 大致可分为三个阶段 : 公理化方法
的产生、 公理化方法的完善和公理化方法的形式化。 从其发展史去考察, 公理化方法的作用,
至少概括出如下三点 : ①这种方法具有分析、 总结数学知识的作用。 ②公理化方法把一门数学
的基础分析得清清楚楚,这就有利于比较各门数学的实质性异同,并能促使和推动新理论的
创立。③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。二、中学几何中的公理化方法中学几
何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力
等方面的考虑,各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。从总体上看,教材体
现出公理化方法的基本思想, 其结构框图如下 :( 见下页 ) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中
提到 :y, 线、 面或丁古干个点、 线、面组合在一起, 就成为几何图中学数学教材中的公理系统
中学数学知识有一定的系统, 原则上应按公理化思想方法展开 . 特别是平面几何、 立体几何内
容,应明确地列出公理组 . 在一般的中学数学教材中,大体 _n 是按照下面的逻辑结构,采用
演绎方法展开的 : 原始概念的描述 ) 定义的叙述公理的叙述命题定理 -- 一推论公式各章节教材
在具体展开时,为便于学生接受,一般都增添了便于理解教材内容的实例,采用如下的块状
结构 : 感性材料实例、 背景设置公理、 定义、 概念引进并证明定理、 公式从逻辑结构和具体内
容看,总体上体现了公理化的基本思想,但就其公理系统而论,由于考虑到中学生接受能力
和教材的精简,因而对公理独立性的要求不是那么严格,而且公理系统也不完备,有时还要
借助于直观 . 例如, 平面几何教材, 从它的逻辑结构和具体内容看, 基本上沿用了欧氏的不完
善的公理系统 . 首先选定一批基本元素和一批关系 ( 包括基本关系 ) 作为基本概念, 采用扩大公
理体系, 然后以此为出发点, 用形式逻辑方法定 . 义有关概念, 推导一系列定理, 把有关的几
何知识贯穿起来 . 其中公理之间是相容 ( 不矛盾 ) 的,但所选取的公理既过剩又不足, 是不独立
和不完备的 .20 世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理 16 条, 等量公理 5 条,不等量
公理 6 条。在 16 条 . 几何公理中,有 11 条新增公理, 5 条强化了的公理 . “两点之间,线段
最短”,“同位角相等,则两直线平行”等都是新增的公理 ; 而“经过直线外一点,有且只有一
条直线和这一条直线平行 “是强化了的平行公理 . 教材的这种处理方案, 虽然从公理系统来说
是不够严格