文档介绍：实数的大小比较的常用方法
一、法则法
比较实数大小的法则是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。
例1 比较与的大小。
析解:由于,且,所以。
说明:利用法则比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是:对任意正实数a、b有:。
例2 比较与的大小。
析解:由于,而,所以。
说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小。
析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、-a、b、-b、c、-c表示的点画出来,容易得到结论:
四、作差法:
差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据
当a-b﹥0时,得到a﹥b。
当a-b﹤0时,得到a﹤b。
当a-b=0,得到a=b。
例1:(1)比较与的大小。(2)比较1-与1-的大小。
解∵-=<0 , ∴<。
解∵(1-)-(1-)=>0 , ∴1->1-。
例2、比较的大小。
解析:因为,所以。
五、作商法
比较实数的大小的依据是:对任意正数a、b有:来比较a与b的大小。
例1:比较与的大小。
解:∵÷=<1 ∴<
例2 比较与的大小。
析解:设,
,则
即
例3:比较与的大小
解:÷=×=﹤1
所以﹤
六、倒数法
倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据当>时,a<b。来比较a与b的大小。
例1:比较-与-的大小。
解∵=+ , =+
又∵+<+
∴->-
例2、已知a﹥1,b﹥2,试比较与的大小
解:=+=2+ 因为a﹥1,所以2+﹤3
=+=3+因为b﹥2,所以3+﹥3
因为﹤所以﹥
例3、设,则a、b、c的大小关系是( )。
A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a
解析:当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时,可选用倒数法。
首先,,
,因为,所以,则b>c。又因为,所以,则a>b。由此可得:a>b>c。故选A。
七、平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例5:比较与的大小
解:, =8+2。
又∵8+2<8+2 ∴<。
八、估算法
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4:比较与的大小
解:∵3<<4 ∴-3<1 ∴<
。
基本是思路是,当a>0,b>0,若要比较形如a的大小,可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例6:比较2与3的大小
解:∵2==,3==。
又∵28>27, ∴2>3。
十、特殊值法
比较两个实数的大小,有时取特殊