文档介绍：有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application
第二部分
第6章有限元法的基本概念
工程和科学中典型问题
在工程技术领域内,经常会遇到两类典型的问题。第一类问题,可以归结为有限个已知单元体的组合。例如,材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构,是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。
工程和科学中典型问题
第二类问题,通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题,热传导问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元,这类问题称为连续系统,或场问题。
尽管已经建立了连续系统的基本方程,由于边界条件的限制,通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答。为解决这个困难,工程师们和数学家们提出了许多近似方法。
基本方程:
边界条件:
实例:二维热传导(稳态)问题
原理:从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量Q平衡
场问题的一般描述
场问题的求解策略及方法
一、求解策略:
1、直接法:求解基本方程和相应定解条件的解;
2、间接法:基于变分原理,构造基本方程及相应定解条件的泛函形式,通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。
二、求解方法:
1、解析或半解析法:
2、数值法:
A)基于直接法的数值法,如差分法;
B)基于间接法的数值法,如等效积分法(如里兹法)、有限元法等。
数值计算方法分类
特点
优缺点
差分法
均匀离散求解域;差分代替微分;解代数方程组
要求规则边界,几何形状复杂时精度低
等效积分法(加权余量法或泛函变分法)
整体场函数用近似函数代替;(近似函数常为含n个待定系数的多项式,)微分方程及定解条件的等效积分转化为某个泛函的变分,--求极值问题,(利用极值条件建立n个代数方程),解代数方程组
适合简单问题,复杂问题很难解决
有限元法
可非均匀离散求解域;分片连续函数近似整体未知场函数;解线性方程组。有限元法的数学基础仍是变分法(同上)。
节点可任意配置,边界适应性好;适应任意支撑条件和载荷;计算精度与网格疏密和单元形态有关,精度可控。对裂缝和无限域的分析存在不足
有限元法基本思想
先将求解域离散为有限个单元,单元与单元只在节点相互连接;----即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替
每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律,该简单函数可由单元节点上物理量来表示----通常称为插值函数或位移函数
基于问题的基本方程,建立单元节点的平衡方程(即单元刚度方程)
借助于矩阵表示,把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程,这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组,引入边界条件求解该方程组即可。
实例1: (1)结构离散
节点位移向量表示:
节点力向量表示:
节点1沿x方向的位移、其余节点位移全为0时轴向压力为: