文档介绍：求极限的几种常用方法
约去零因子求极限
例如求极限limx→1x4-1x-1,本例中当x→1时,x-1→0,表明x与1无限接近,但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。
分子分母同除求极限
求极限limx→∞x3-x23x3+1
∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。¥
limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13
分子(母)有理化求极限
例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)+¥
分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。
例:求极限limx→01+tanx-1+sinxx3
=
==
本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
应用两个重要极限求极限
两个重要的极限1limx→0sinxx=1
(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e
在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例:求极限limx→∞(x+1x-1)x
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑1+1x,最后凑指数部分。
limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+2x-1)12]2=e2
利用无穷小量的性质求极限
无穷小量的性质:无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界,和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例:求limx→∞sinxx
因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0
用等价无穷小量代换求极限
常见等价无穷小有:
当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1,
1-cosx~12x2,(1+ax)b-1~abx
等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例:limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2
例:求极限limx→0sinx-xtan3x
-limx→0sinx-xtan3x=limx→0sinx-xx3=limx→0cosx-13x2=limx→0-12x23x2=-16
利用函数的连续性求极限
这种方法适合求复合函数的极限。如果u=g(x)在点x0处连续gx0=u0,而f(u)在点x0处连续,那么复合函数y=f(gx)在点x0处连续。limx→x0f(gx)=fgx0=f(limx→x0g(x))
也就说,极限号limx→x0与f可以互换顺序。
例:求limx→∞ln(1+1x)x
令y=lnu,u=(1+1x)x
因为lnu在点u0=limx→∞(1+1x)x=e处连续
所以limx→∞ln(1+1x)x=lnlimx→∞(1+1x)x=lne=1
八、用洛必达法则求极限
洛必达法则只能对00或∞∞型才可直接使用,其他待定型必须先化成这两种类型之一,然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在limf'(x)g'(x)等于A时,那么limf(x)g(x)存在且等于A。如果limf'(x)g'(x)不存在时,并不能断定limf(x)g(x)也不存在,这是不能用洛必达法则