文档介绍：数值传热学
第五章对流扩散方程的离散格式(2)
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院
热流科学与工程教育部重点实验室
2012年10月17日, 西安
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关于假扩散的讨论
假扩散的含义与成因

一阶截差格式引起严重假扩散举例
网格倾斜交叉引起的计算误差
非常数源项引起的假扩散
两个名例
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关于假扩散的讨论
假扩散的含义与成因
假扩散(False diffusion)又称数值黏性(Numerical
viscosity),是对流离散格式的重要特性。
1. 本来的含义
由于一阶导数项离散格式的截断误差精度小于二
阶而引起的计算误差,称为假扩散;
因为这种格式截断误差首项所含的导数为二阶,
这种离散格式所逼近的过程中扩散作用被扩大了,故
称这样的计算误差为假扩散。
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以一维非稳态纯对流过程为例俩分析,其中有两
个一阶导数项,均采用一阶截差的格式。
一阶截差格式离散 nn1 nn
ii ii1
u u
tx u>0 tx

nn1 
将ii1,对点(i,n)做Taylor展开,代入上式:
2
nn 1 2 
iinit )in, t 2 ), ... 
t 2 t 
t
2
nn  1 2 
ii[xx)in, 2 ) in, ...
u x 2 x
x
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
tux22
))uOt ) )(,) x22 
txin,, in22t 2 in,  x2 in ,
其中关于时间的二阶导数项可做如下变化:
2 2
 2 
()()u u ()uu()  u
ttt2 tx x t x xx2
此处是差分代入上式可得
方程的精确解
ux ut 2
))[(1)])u Ox() 22,t
t in,,x in2 x x2 in,
所以上述一阶截差的离散方程在二阶截差的意义上

相当于模拟了一个对流扩散方程,而不是纯对流方程。
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ut
只有当10时才没有这部分的计算误差。
x
ut
称为Courant数,以纪念德国数学家Courant。
x
ux ut 2
))[(1)])u Ox() 22,t
t in,,x in2 x x2 in,
说明:这里讨论的是二阶假扩散;即在二阶截断误差

的意义上,该格式实际模拟的是一个扩散-对流过程。
一般工程计算中讨论二阶假扩散已经能够满足计算精度
的要求。
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2. 扩充的含义
现有文献中常常将较大的计算误差都称为假扩
散,大致有以下几项原因:
(1) 一阶导数的一阶截差格式;
(2) 流动方向与网格线呈倾斜交叉;
(3) 离散格式未计及非常数源项的影响。
一阶截差格式引起严重假扩散举例
1. 一维稳态对流扩散问题
对流项用FUD,扩散项用CD,当Pe较大时,数值
计算结果严重偏离精确解。
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FUS Physically
plausible solution
FUS严重的误差
CD振荡的数
值解
2. 一维非稳态对流问题(Noye,1976)

u , 01,, xu(0,)tt(1,)0
tx
x[0,] 范围内,初始分布为三角形,其余为零。
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由离散方程:
 nn1  nn
iiu ii1
tx
得:
ut ut
 nn1 (1 ) ( ) n 纯对流传递
iixx i1
C 
ut nn1
当1 时ii1
x
此时只有对流,没有扩散!
纯对流传递
C 
与物理问题相一致!
此值不为1时则有严重假扩散!
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当Courant数小于1时,产生了严重的扩散作
用,将尖峰逐渐抹平。此种误差称为流向假扩散
(Streamwise fal