文档介绍：立体几何大题的解题技巧
——综合提升
【命题分析】高考中立体几何命题特点:
,将侧重于垂直关系.
“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.
、性质多在选择题,填空题出现.
、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.
此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,、直线和平面所成的角、、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.
【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角:
“六个距离”:
1两点间距离
2点P到线l的距离(Q是直线l上任意一点,u为过点P的直线l法向量)
3两异面直线的距离(P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量)
4点P到平面的距离(Q是平面上任意一点,u为平面法向量)
5直线与平面的距离【同上】
6平行平面间的距离【同上】
“三个角度”:
1异面直线角【0,】cos= 【辨】直线倾斜角范围【0,)
2线面角【0,】sin= 或者解三角形
3二面角【0,】cos 或者找垂直线,解三角形
不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色.
求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
其中,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定,是解决立体几何问题这套强有力的工具时,使得高考题具有很强的套路性。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.
典型例题
例1(福建卷)如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
A
B
C
D
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的
大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力.
解:解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
A
B
C
D
O
F
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点, , .
在正方形中,, 平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.
, 为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又, .
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,
.
点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
x
z
A
B
C
D
O
F
y
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为.
,. ,,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,
为平面的法向量.
,.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,
.
点到平面的距离.
小结:本例中(Ⅲ),把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法.
考点2 异面直线的距离
考查异目主面直线的距离的概念及其求法
考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.
例2 已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,,求CD与SE间的距离.
思路启迪:由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离.
解:
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
为的中位线,∥∥面,
到平面的距离即为两异面直线间的距离.
又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点,
在Rt中,
在Rt中,
又
由于,即,解得
故CD与SE间的距离为.
小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程.
考点3 直线到平面的距离
偶尔会再加上平行平面间的距离,主要考查点面、