文档介绍：高考压轴题精选+黄冈中学高考数学压轴100题
1 二次函数
2复合函数
3创新性函数
4抽象函数
5导函数(极值,单调区间)--不等式
6函数在实际中的应用
7函数与数列综合
8数列的概念和性质
9Sn与an的关系
10创新型数列
11数列与不等式
12数列与解析几何
13椭圆
14双曲线
15抛物线
16解析几何中的参数范围问题
17解析几何中的最值问题
18解析几何中的定值问题
19解析几何与向量
20探究性问题
1. 对于函数,若存在实数,使成立,则称为的不动点.
(1)当时,求的不动点;
(2)若对于任何实数,函数恒有两个相异的不动点,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.
分析本题考查二次函数的性质、直线等基础知识,及综合分析问题的能力
函数与方程思想
解: ,
(1)当时,.
设为其不动点,即,,即的不动点是.
(2)由得.
由已知,此方程有相异二实根,所以,即对任意恒成立.
,.
(3)设,直线是线段的垂直平分线,.
记的中点,由(2)知.
在上,
化简得:,当时,等号成立.
即
例2 已知函数,若对任意,且,都有.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)对于给定的实数,有一个最小的负数,使得时,都成立,则当为何值时,最小,并求出的最小值.
解:(Ⅰ)∵,
∵,∴.∴实数的取值范围为.
(Ⅱ)∵,显然,对称轴。
(1)当,即时,,且.
令,解得,
此时取较大的根,即,∵,∴.
(2)当,即时,,且.
令,解得,此时取较小的根,即,
∵,∴. 当且仅当时,取等号.
∵,∴当时,取得最小值-3.
2 复合函数
,其中,且。
(1)对于函数,当时,,求实数m的取值范围;
(2)当时,的取值范围恰为,求的取值范围。
解: 且
设,则∴∴
当时,∵∴在其定义域上
当时,∵,, ∴在其定义域上
∴且,都有为其定义域上的增函数
又∵∴为奇函数
(1)∵当时,∴
∴
(2)当时,∵在上,且值域为∴
∴
例2. 函数是的反函数,的图象与函数的图象关于直线成轴对称图形,记。
(1)求的解析式及其定义域;(2)试问的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由。
解:(1) ∴
∵的图象与的图象关于直线成轴对称图形
∴的图象与的图象关于直线对称
即:是的反函数
∴∴
∴
(2)假设在的图象上存在不同的两点A、B使得轴,即使得方程有两不等实根
设,则在(,1)上且
∴, ∴使得方程有两不等正根
设,
由函数图象可知:,方程仅有唯一正根∴不存在点A、B符合题意。
3. 设且为自然对数的底数,函数f( x)
(1)求证:当时,对一切非负实数x恒成立;
(2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a 有关的正常数,使得成立?如果存在,求出一个符合条件的;否则说明理由.
分析:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等基础知识,、化归(转化)思想方法
解:(1)当令
上单调递增,
(2)(1),
需求一个,使(1)成立,只要求出的最小值,满足
上↓
在↑,
只需证明内成立即可,
令
为增函数
,故存在与a有关的正常数使(1)成立。
(b、c为实常数)。记,,.令.
(Ⅰ)如果函数在处有极值,试确定b、c的值;
(Ⅱ)求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
(Ⅲ)、c 恒成立,试示的最大值。
解:∵∴
(Ⅰ)由在处有极值,可得
,解得或
若,则,此时没有极值;
若,则。
当变化时,、的变化情况如下表:
0
+
单调递减
极小值-12
单调递增
极大值
单调递减
∴当是,有极大值,故即为所求。
(Ⅱ)设曲线在处的切线的斜率为,
∵,∴,即。解得或。
若,则,得切点为,切线方程为;
若,则,得切点为,切线方程为。
若,解得,,
则此时切线与曲线的公共点为,;
(2)若,
解得,,此时切线与曲线的公共点为,。
综合可知,当时,斜率为c的切线与曲线有且只有一个公共点;当,斜率为
c的切线与曲线有两个不同的公共点,分别为和或,。
(Ⅲ)
(1)当时,函数的对称轴位于区间外,在上的最值在两端点处取得,故应是和中较大的一个。
∴,即∴
(2)当得对称轴x=b位于区间之内
此时
由
若
于是
若