文档介绍：类型一:巧用圆系求圆的过程
在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种:
  ⑴以为圆心的同心圆系方程
  ⑵过直线与圆的交点的圆系方程
 
  ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
  此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。
  当时,得到两圆公共弦所在直线方程

  例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。
  分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。
  解:过直线与圆的交点的圆系方程为:
  ,即
  ………………….①
  依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得
  又满足方程①,则故
  例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
  解:圆和的公共弦方程为
  ,即
  过直线与圆的交点的圆系方程为
  ,即
  依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。即,则代回圆系方程得所求圆方程
 例3:求证:m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点P,并求P点坐标。
分析:不论m为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解:由原方程得
m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,①
即,
∴直线过定点P(9,-4)
注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.
(1)证明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
得
∵m∈R,∴
2x+y-7=0, x=3,
x+y-4=0, y=1,
即l恒过定点A(3,1).
∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径),
∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.
(2)解:弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-,
∴l的方程为2x-y-5=0.
评述:若定点A在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?
思考讨论
类型二:直线与圆的位置关系
例5、若直线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
解:∵曲线表示半圆,∴利用数形结合法,可得实数的取值范围是或.
变式练****x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是___________.
解析:利用数形结合.
答案:-1<k≤1或k=-
例6 圆上到直线的距离为1的点有几个?
分析:、的方程,从代数计算中寻找解答.
解法一:圆的圆心为,半径.
设圆心到直线的距离为,则.
如图,在圆心同侧,与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点,这两个交点符合题意.
又.
∴与直线平行的圆的