文档介绍：函数的单调性与导数
数
形
变量变化的快慢
一、知识回顾:
函数的变化率
导数
曲线陡峭程度
函数的变化趋势
函数单调性
思考:
刻画函数变化趋势的是否还有其他…
函数单调性
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
增函数
减函数
导数与函数的单调性有什么关系?
函数在给定区间G上,当且
时
1)都有,
2)都有,
则在上是增函数;
则在上是减函数;
二、问题探究
讨论函数的单调性.
解:取,
综上单调递增区间为
单调递减区间为。
则当时, ,
那么在上单调递减。
当时, ,
那么在上单调递增。
2
y
x
0
问题探究
函数的图象:
单调增区间: .
单调减区间: .
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
函数在区间
(-∞,2)上单调递减,切线斜率小于0,即其导数为负;
总结:
在区间(2,+∞)上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正.
再观察函数的图象
三、构建数学
一般地,对于给定区间上的函数,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当时,
若,,即:
构建数学
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
由上我们可得以下的结论:
思考:如果函数在某个区间上单调递增,那么在该区间上必有?
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f (x) 为这个区间上的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f (x) 为这个区间上的减函数.