文档介绍:
与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化.
数之和时,若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简化运算.
例7 在自然数1~100中找出10个不同的数,使这10个数的倒数的和等于1.
分析与解:这道题看上去比较复杂,要求10个分子为1,而分母不
来做,就非常简单了.
题中所求,,于是做成:
所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10.
替换答案中的10和30,仍是符合题意的解.
分析与解:通分计算太麻烦,
例2 计算:
分析与解题中的每一项的分子都是1,分母不是连续相邻两个自然数之积,,
这里n是任意一个自然数.
利用这一等式,采用裂项法便能较快地求出例2的结果.
例3 计算:
分析与解仿上面例1、例2的解题思路,我们也先通过几个简单的特例试图找出其规律,再用裂项法求解.
这几个分数的分子都是2,分母是两个自然数的积,其中较小的那个自然数正好等于分母中自然数的个数,:
连续使用上面两个等式,便可求出结果来.
因为第一个小括号内所有分数的分子都是1,分母依次为2,3,4,…,199,,分母依次为5,6,7,…,202,,6,7,…,199的分数正好抵消,
例4 求下列所有分数的和:
分析与解这是分数求和题,如按异分母分数加法法则算,必须先求1,2,3,…,1991这1991个数的最小公倍数,单是这一点就已十分麻烦,,2,3,4的所有分数和各等于多少.
这四个结果说明,分母分别为1,