文档介绍：因式分解
常用公式或变形方法(此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容)
(在已知和时此公式常变形为)
例题讲解
已知a、b、c是△ABC的三条边,且满足,试判断△ABC的形状.
若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍,求这三个素数.(2015大同杯第四题)
已知实数a、b、c满足,,求的值.(2003年宇振杯第3题)
已知,,求证:
练****题
已知整数a、b满足,求的值.
已知,,,求的值.
已知a、b、c是不全相等的实数,且,,求:
的值
的值
化简:(2014大同杯第1题)
设非零实数a,b,c满足,求的值.(2013年全国初中数学联赛第一试第1题)
已知正数a、b、c满足,求的值.
已知:,,,求的值.(2016全国初中数学联赛第二试B组第2题)
对称式与轮换对称式
一、定义
1. 一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,那么,就称这个代数式为元对称式,简称对称式。例如,都是对称式。
2. 如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数,那么称这个多项式为齐次多项式。
3. 一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式均改变符号,那么就称这个代数式为元交代式。例如,均是交代式。
4. 如果一个元代数式,如果将字母:以代,代代代后代数式不变,那么称这个代数式为元轮换对称式,简称轮换式。对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如,是对称式也是轮换式;是轮换式,但不是对称式。
二、例题讲解
例1. 已知,a,b,c是△ABC的边,且,,,求此三角形的面积.
满足方程的非负整数解有几组?(2014大同杯第4题)
设x、y、z是三个互不相等的数,且,求xyz的值.
x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=+y22的值.
三、练****题
1. 已知,,,求的值.
2. 若数组(x,y,z)满足下列三个方程:,,,求xyz的值.
3. 已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值.
4. 不定方程的整数解共有几组?(2015大同杯第7题)
5. 已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ab﹣c2=﹣7,求6a+7b+8c
6. 已知实数a、b、c,且,若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=+ay22的值.(2007新知杯第5题)
定义
实数x,用[x]表示不超过x的最大值整数,则y=[x]称为高斯函数.
二、例题讲解
例1. 表示不大于的最大整数,求方程的所有实数解.(2006新知杯第6题)
例2. 对于正整数n,设是最接近的整数,求(2017全国数学联赛第一试第6题)
例3. 给定正实数a,对任意一个正整数n,记,这里,表示不超过实数x的最大整数。
(1) 若,求a的取值范围;
(2) 求证:(2012新知杯11题)
练****题
1. 用表示不超过的最大整数,,是的小数部分,是的小数部分,求.(2016全国数学联赛第一试第1题)
2. 如果a为任意实数,用[a]表示不大于a的最大整数,例如[-5] = -5,[-2,3] = -3,[]=1,设x、y满足方程,求[x+y].
3. 用表示不超过的最大整数,求方程的所有实数解.
4. 设表示不超过实数的最大整数,
,直至2016项,其中分母为的一段共有项,只有最后一段可能不足项,求的值.(2016大同杯第6题)
设表示不超过实数的最大整数,正整数n小于100且满足,这样的正整数n有几个?(2000年全国初中数学联赛第一试第4题)
设表示不超过t的最大整数,令. 已知实数x满足,求.(2014全国初中数学联赛第5题)
7. 设表示不超过实数的最大整数,求方程- 8[x] + 7 = 0的所有解的平方和
8. 求满足不等式的最大正整数,其中表示不超过实数的最大整数.(2008新知杯第五大题)
概率
一、基本概念
1. 排列
(1)排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列。
(2)排列的计算公式:;使用计算器时先输入n的值,然后按P按钮,再输入m的值。
2. 组合
(1)组合的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组。组合与排列的区别是组合是无序的,而排列是有序的。
(2)组合的计算公式:;使用计算器时先输入n的值,然后按C按钮,再输入m的值。
二、例题讲解
例1. 有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球,从中任取3个小球,求取出的3个小球的编号和