文档介绍：几种插值法的应用与比较
作者:*** 指导老师:***
摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较,针对每个插值法,经过详细的论证和讨论,、比较及应用的讨论及总结,从而得出所讨论插值方法的各自优势,以方便用户选择合适的插值法.
关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值
1 引言
在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数关系,但是这些关系的显示表达式不一定都知道,通常只是由观察或测试得到一些离散数值,所以只能从这些数据构造函数的近似表达式,有时虽然给出了解析表达式,但由于解析表达式过于复杂,,而插值法就是构造函数的近似表达式的方法.
由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数,所以经常采用多项式作为插值函数,,牛顿插值法、埃尔米特插值法,.
拉格朗日插值法
在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·,,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,(插值),·华林于1779年发现,不久后由莱昂哈德·,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起.
拉格朗日插值多项式
图1
已知平面上四个点:(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9),拉格朗日多项式:(黑色):,, 以及各穿过对应的一点,并在其它的三个点的值上取零.
对于给定的若个点,,………,,则有无穷个,因为所有与相差……的多项式都满足条件.
对某个多项式函数,已知有给定的个取值点:
,……,,
其中对应着自变量的位置,而对应着函数在这个位置的取值.
假设任意两个不同的都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为:
,
其中每个为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:
,
拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1,在其它的点, 上取值为0.
,已知它在三个点上的取值为:
,
,
,
要求的值.
首先写出每个拉格朗日基本多项式:
;
;
;
然后应用拉格朗日插值法,就可以得到的表达式(为函数的插值函数):
,
此时数值就可以求出所需之值:.
插值多项式的存在性与唯一性
存在性
对于给定的个点:拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为,,多项式在点取值为,
,
在其它点取值为的多项式容易找到,例如:
,
它在点取值为:.由于已经假定两两互不相同,,将多项式除以这个取值,就得到一个满足“在取值为,而在其他点取值都是的多项式”:
,
这就是拉格朗日基本多项式.
唯一性
次数不超过的拉格朗日多项式至多只有一个,因为对任意两个次数不超过的拉格朗日多项式:和,它们的差在所有个点上取值都是,,如果这个差不等于,,它的次数也不超过,.
几何性质
拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式(由某一组确定)可以看做是由次数不超过的多项式所组成的线性空间:,如果存在一组系数:使得,
,
那么,一方面多项式是满足的拉格朗日插值多项式,另一方面是零多项式,
,
,.
拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的(都是次多项式).
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值点增加或减少一个时,所对应的基本多项式就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,