文档介绍：2013届理科数学三/四大题限时训练(15)
1.(本小题满分12分)已知向量,,且,A为锐角. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)求函数的值域.
2.(本小题满分12分)
在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是互通的. 假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的.
(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率;
(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率;
(3)记为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量的数学期望.
3.(本小题满分14分)在四棱锥中,底面是一直角梯形,,与底面成角. (1)若为垂足,求证:; (2)在(1)的条件下,求异面直线与所成角的余弦值; (3)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.
4.(本小题满分14分)已知直线与椭圆相交于、两点,是线段上的一点,
,且点M在直线上,
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上,求椭圆的方程.
5.(本小题满分14分)已知函数.
(I)当的单调区间;
(II)若函数的最小值;
(III)若求证:.
1. (本小题满分12分)
(本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力)
解:(Ⅰ)由题意得………2分
………4分
由为锐角
得,
………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
………7分
所以
………9分
因为,
则,
当时,
有最大值.
当时,
有最小值, ………11分
故所求函数的值域是. ………12分
2. (本小题满分12分)
(本小题主要考查几何概型、二项分布、数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
解(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件,
“蜜蜂落入第二实验区”为事件.………1分
依题意,
……………3分
∴
∴蜜蜂落入第二实验区的概率为. …………4分
(2)记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件,
则…………5分
∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率. …………8分
(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,
且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的,
所以变量满足二项分布,即~ ……………10分
∴随机变量X的数学期望=40×=5 ……………12分
3. (本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线线关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解法一:(1)
…………4分
(2)过点作交于,连结,
则与所成角即为与所成角.
∴异面直线与所成角的余弦值为. …………9分
(3)延长与相交于点,连,
则面与面的交线为,易知⊥平面,
过作,
,
,
∴平面与平面所成的二面角的正切值为2. ……14分
解法二:(1)如图建立空间直角坐标系,
…………4分
(2)由(1)知,