文档介绍：柯西——施瓦兹不等式探讨
作者: 张道皇指导老师: 唐燕玉
摘要:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,应用方面给出几个例子。近年来,许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式,并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究,本文在已有的文献基础上,总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化,也是对现有文献中相应结论进行改善。
关键词:柯西—施瓦兹不等式证明应用
引言:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,在证明不等式、解三角形相关问题、数学分析中都有重要应用,本文在已有的文献基础上,总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式,并且给出其一些应用性的例子。
柯西(Cauchy)不等式在代数学中的表现形式

等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:
证明1:(判别式法) ,
关于小的二次三项式保持非负,故判别式
,当且仅当即时等号成立
证明2数学归纳法
(1)当时左式= 右式=
显然左式=右式
当时, 右式右式
仅当即即时等号成立
故时不等式成立
(2)假设时,不等式成立
即
当,k为常数, 或时等号成立
设
则

当,k为常数, 或时等号成立
即时不等式成立
综合(1)(2)可知不等式成立;
证明3(配方法)因
故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。
柯西不等式在几何中表现形式
柯西不等式的代数形式十分简单,但却非常重要。数学当中没有巧遇,凡是重要的结果都应该有一个解释,一旦掌握了它,就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释,通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。
(1)二维形式
如图, 可知线段,及的长度分别由下面的式子给出:
表示与的夹角。由余弦定理,我们有
将,,的值代入,化简得到
而,故有
于是
这就是柯西不等式的二维形式。
我们可以看到当且仅当,即当且仅当是零或平角,亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形,斜率之间必定存在一个等式;换句话说,除非,我们们总有.
(2)三维形式
对于三维情形,设是不同于原点的两个点,则与之间的夹角的余弦有

又由,得到柯西不等式的三维形式:

当且仅当三点共线时,等号成立;此时只要这里的都不是零,就有
柯西不等式的推广
前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立。
定理:若和是两个复数序列,则有
,
当且仅当数列和成比例时等式成立。
证明:设是复数,有恒等式
若(其中),则有
由此推出了复数形式的柯西不等式。
除此之外,我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。
定理1:若和是实数列,且,则
当时,这个不等式即为柯西不等式。
定理2:若和是正数序列,且或,则
这个不等式实际上是Holder不等式的推论。
对于柯西不等式,除了这种数列形式之外,还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。
柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式
定理:设和是在上的实可积函数,则

当且仅当和是线性相关函数时等式成立。
证明1