柯西施瓦兹不等式探讨数学本科毕业设计.doc

文档介绍：安庆师范学院数学与计算科学学院 2010 届毕业论文柯西——施瓦兹不等式探讨摘要:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,应用方面给出几个例子。近年来,许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式,并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究,本文在已有的文献基础上,总结出了柯西—施瓦兹不等式 4 种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化,也是对现有文献中相应结论进行改善。关键词:柯西—施瓦兹不等式证明应用引言:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,在证明不等式、解三角形相关问题、数学分析中都有重要应用,本文在已有的文献基础上,总结了柯西—施瓦兹不等式 4 种表现形式,并且给出其一些应用性的例子。柯西( Cauchy )不等式在代数学中的表现形式 222 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b ? ??? ?? ?? ?? ?? ???? niRba ii? 2,1,??等号当且仅当 0 21???? naaa?或ii kab?时成立(k 为常数,ni? 2,1?) 现将它的证明介绍如下: 证明 1: (判别式法) ?? 2 2 2 2 1 1 1 1 0 2 n n n n i i i i i i i i i i a x b a x a b x b ? ???? ?????? ????? ?????? ?????? ???, 关于小的二次三项式保持非负,故判别式 2 2 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i a b a b ? ??? ?? ??? ?? ?? ??,当且仅当?? 0 1, 2 i i a x b x i n ? ???即 1 2 1 2 nna a a b b b ? ???时等号成立证明 2 数学归纳法(1 )当1n?时左式=?? 2 1 1 a b 右式=?? 2 1 1 a b 显然左式= 右式当2n?时, 右式???????? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 a a b b a b a b a b a b ? ? ??