文档介绍：柯西一一施瓦兹不等式探讨作者:张道皇指导老师:唐燕玉摘要:柯西一施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,应用方面给出几个例子。近年来,许多学者在不同条件下提出柯西一施瓦兹不等式多种表现形式,并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究,本文在已有的文献基础上,总结出了柯西一施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学屮的应用。本文的结论是对柯西一施瓦兹不等式理论的进一步深化,也是对现有文献中相应结论进行改善。关键词:柯西一施瓦兹不等式证明应用引言:柯西一施瓦兹不等式是一个非常重耍的不等式,在证明不等式、解三角形相关问题、数学分析屮都有重要应用,本文在已有的文献基础上,总结了柯西一施瓦兹不等式4种表现形式,并且给出其一些应用性的例子。柯西(Cauchy)不等式在代数学中的表现形式(n 、2 “ “ 2(a®gR,i=1,2…7?)£呐述终$•曲\/=1 丿 /=! /=!等号当且仅当a}=a2=--=an=0或bi-ka^时成立(k为常数,i=l,2・・F)现将它的证明介绍如下:n 2了“ 、 (n “ 、证明1:(判别式法)OS工⑺丿+勺)=为x2+2工呐兀+/=!\/=!/\/=1丿\/=!丿关于小的二次三项式保持非负,故判别式2V-V«,2 -0»当且仅当aix^-bjx=0(<i=l,2---n)即仏=鱼=・・・=5</=i丿/=i i=\ Sb2 bn吋等号成立证明2数学归纳法(1)当〃=1时左式=(qb])~ 右式=(qQ])~显然左式二右式当n=2时,右式 +H)(b;+b;)=(®b$+(必2『+a折+a圈+(。2伏『+2。\心”2=(a}b2+a2b2)2=右式仅当即cirb\=ci\b°即也■=丑时等号成立b\b2故斤=1,2时不等式成立(2)假设n=k(kEN,Jt>2)时,不等式成立即(+cirb+…+.)W(+佑+…+ )("「+b;+•••+/?:)当bj=kai,k为常数,i=l,2或ax=a2=--=ak=0Dj*等号成立设A=a:=a;=・・・=a;B=b:=b;=・••=瓦C=a攸+a2b24—+akbk则(A+此J(B+氏+J=AB+A臨+&曲»L+2CaMbM+Q;+|b;+i=(C+ak+ibk+])2.•.(a:+a;+•••+/+a;+J0;+毎+…+b;+b^+l)2»(afy+色优+…+akbk+ak+]bk+l)当®=k®,k为常数,i=l,2…"或a{=a2=•-=ak=0时等号成立即n=k+\时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立;证明3(配方法)因n n (n \z・£b;一£哦i=l ?=1 \/=1 丿” h n n=Za:・£b;一£a厶•£Qjbj=ZEaihi-SLaibia)bj/=!j=l /=!j=l故柯西不等式获证。等号当且仅当d肉二勺勺亿丿=1,2,…")成立。柯西不等式在几何中表现形式柯西不等式的代数形式十分简单,但却非常重要。数学当中没有巧遇,凡是重要的结果都应该有一个解释,一旦掌握了它,就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释,通常驻要借助于儿何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出儿何解释。(1)二维形式(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2如图,可知线段OP,0Q及PQ的长度分别由下面的式子给出:0P\=如+戾,QQ=推+〃2,|P2|=J(q—c)2+(方一〃)2&表示OP与OQ的夹角。由余弦定理,我们有\PQf=\OPf+|00_2|OP|.QQcos&将\op\,oq,po的值代入,化简得到cose=.ac^b(f而0Scos2&<1,故有cos2&=—r仪+缪)__—<1(a2+b2)(c2+d2)于是 (夕+/?2)(C2+6/2)>(QC+加尸这就是柯西不等式的二维形式。我们可以看到当且仅当cos?&=1,即当且仅当&是零或平角,亦即当且仅当O,P、Q在同一条直线上是时等号成立。在这种情形,斜率之间必定存在一个等式;换句话说,除非c=d=0,我们们总有—=—.cd(2)三维形式 (彳+°;+居)(舁+b;+b;)2(afy+a2b2+a3b3)2对于三维情形,设P(ara29a3),Q(bl9b29h3)是不同于原点0(0,0,0)的两个点,则0P与0Q之间的夹角&的余眩有cos&=a”、+a2b2十a3b3Ja;.Jb;+b;+斤又由cos2&Ml,得到柯西不等式的三维形式:+a;+ciy)(b「+b;+b;)A(a、b\+ci^b^+ci^b^^Q三点共线吋,等号成立;此时只要这里的久优,伏都不是零,就有b\b2h3柯西不等式的推广前面的柯西不等式都是限制在实数范圉内的,在复数范圉内同样也有柯西不