文档介绍：圆锥曲线与方程
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用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;
当平面与圆锥面的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个圆.
当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截线的变化情况,并思考:
●用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具有哪些几何特征?
椭圆
双曲线
抛物线
M
Q
F2
P
O1
O2
V
F1
古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),又分别与圆锥面的侧面相切(两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2).过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1,圆O2与P,Q两点,因为过球外一点作球的切线长相等,所以
MF1 = MP,MF2 = MQ,
MF1 + MF2 =MP + MQ = PQ=定值
椭圆的定义:
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有
(2a> 的常数)
平面内到两定点, 的距离和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,
两个定点, 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
思考:
在椭圆的定义中,如果这个常数小于或等于,动点M的轨迹又如何呢?
思考:是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆?
结论:(若 PF1+PF2为定长)
1)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1+PF2> F1F2时,P点的轨迹是椭圆。
2)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1+PF2= F1F2时,P点的轨迹是一条线段F1F2 。
3)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1+PF2< F1F2时,P点没有轨迹。
双曲线的定义:
两个定点, 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
平面内到两定点, 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有
(0<2a< 的常数)
思考:平面内到两个定点 F1,F2的距离的差的等于常数(小于F1F2)的点的轨迹是什么?
是双曲线的一支。
问题2:怎样确定是哪一支?
看PF1和PF2谁大,偏向小的一边。
抛物线的定义:
平面内到一个定点F和一条定直线L(F不在L上)的距离相等的点轨迹叫做抛物线,
定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线
设平面内的动点为M ,有
可以用数学表达式来体现:
MF=d(d为动点M到直线L的距离)
抛物线形成演示§
说明:
1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线
2、我们可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么!