稳定性判别方法.doc

文档介绍：1. 线性定常系统的稳定性判别
设
. ()
则
(i)平衡点稳定Û A的所有特征值的实部非正,
且实部为零的特征值对应着一阶约当块;
(ii)平衡点渐近稳定Û A的所有特征值实部为负.
证(i)因是线性系统,只需证明平衡点的稳定性.
设.
(注:与能控标准变换不同)
其中为约当块,则
.
而的非零元素形如
或或
约当块阶数减1.
如, 则

若. 则à有界;
若且对应一阶约当块à也有界.
故有K > 0, 使
.
其中
对,取. 当时. 有
,
故稳定;
(ii)若全为, 则全à渐近稳定.
设系统矩阵分别如下:
.
试判别的稳定性.
解
(1) 由, 得(2重), 不稳定.
(2) 由, 得和,
因对应一阶约当块à是稳定的.
(3) 由,得à渐近稳定.
若, 常用Hurwitz判别法(介绍).
常系数n次代数方程
的所有根的具有负实部Û下列不等式同时成立:
.
其中.
验证系统矩阵为
时, 是渐近稳定的.
证由
.
得及
由Hurwitz判别法à所有特征值有负实部à渐近稳定.
对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.
2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)
(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似)
设n维非线性系统为
, ()
且n维向量函数对有连续偏导.
将在处展成泰勒级数, 得
. ()
其中为的高阶项, 而