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平面向量的数量积的物理背景及其含义
目标导学:
1、能运用数量积表示两个向量的夹角,计算向量的长度;
2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
向量的夹角:
已知两个非零向量和,作, ,
则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.
θ
O
A
B
当θ= 0º时, 与同向;
当θ= 180º时, 与反向;
当θ= 90º时, 与垂直,记作。
问题
θ
s
F
一个物体在力F 的作用下产生的位移
s,那么力F 所做的功应当怎样计算?
其中力F 和位移s 是向量, 是F 与s 的夹角,而功是数量.
平面向量的数量积:
已知非零向量与,我们把数量叫作与的数量积(或内积),记作,即规定
其中θ是与的夹角, 叫做向量在
方向上( 在方向上),零向量与任一向量
的数量积为零,即。
θ
B
B1
O
A
数量积的几何意义:
数量积等于的长度与在的方向上的
投影的乘积。
θ
B
B1
O
A
思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,
什么时候为负呢?
由向量数量积的定义,试完成下面问题:
注:常记为。
0
≤
证明向量
垂直的依据
, 的夹角θ=120º,
求。
解:
数量积的运算规律:
如图可知: