文档介绍：微分方程的稳定性分析
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稳定性理论研究什么呢
举个例子:我们人本身是一个复杂的系统。我们每天都不可避免地接触许多病菌、病毒的侵扰,但我们大多数每天都照样健康的生存着。那是因为我们这个系统是稳定的,虽然它受到很多的干扰项,但这个系统的自我运转,自我调节能够把这些个不平衡状态调节到平衡状态。但是对一些羸弱者、或病人,他们很容易被攻倒,甚至会引起连锁效应,由一个小毛病会扯出一堆的毛病,离平衡状态越来越远。这是因为他们的系统是不稳定的。一个小小的差错就能导致谬以千里的后果。
稳定性理论就是通过一些的定量计算来研究系统的稳定性态,即系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或平衡状态附近。
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军备竞赛
两个国家或两个国家集团之间由于相互不信任而不断增加自己的军事实力,防御对方可能发动的战争。当然由于错综复杂的国际、国内政治形势,我们不可能做到把这个复杂的军备竞赛问题用数学公式完全给描述出来。我们只能做到:这样一个复杂的实际过程可以合理地简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
1939年Richardson做了这样一个数学模型:
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Richardson假设每一方军备的增加都取决于下列三个因素:
1)对方军备的大小由于相互不信任,一方军备越大,另一方军备增加的越快。
2)自己军备的大小由于受自己的总的经济力量的限制,自己的军备越大,增加的越慢。
3)双方固有的敌视程度即使一方没有军备,由于存在这种敌视,另一方也会增加军备。
设甲、乙双方的军备分别为x(t)和y(t),根据上述三个因素作出进一步的简化假设:x(t)的增加率与y(t) 成正比; x(t)的减少率与 x(t)成正比;由于敌视程度对 x的影响用一个常数来表示。对y(t)作同样的假设。
于是
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有模型:
(1)
其中均为大于(或等于)零的常数。
我们先用这个模型来解释几个简单而重要的现象:
1。对于两个相互不存在敌视的国家:g=h=0,那么
是(1)的平衡解。即如果x(t)和
y(t)在某个时候为零,就永远保持为零。这种情况可以解释为由于双方的信任和裁军而达到持久和平,它可以出现在两个友好的邻国之间。
2。如果,即使在某个时候x(t),y(t)为零,
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由于这时,x(t)和y(t)也将增加。这表示未经和解的(即不消除敌视的)双方裁军是不会持久的。
3。如果在某个时候x(t)=0,即使忽略g的作用,由于这时,x(t)也不会保持为零。这表示单方面的裁军绝不会持久。

现在回来讨论模型(1)式的平衡点的稳定性。
这个微分方程组的平衡点就是方程
的解。
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对上面的模型,我们知道是方程的一个平衡点,也就是说
就是双方都愿意接受的理想结局,大家都不用再把钱花在军备竞赛上,可以用来发展自己的经济。但是在实际上总是存在很多不安定因素,比如战争狂分子,这就会导致实际状态偏离平衡状态。那么在状态偏离之后,还能不能恢复到平衡状态或平衡状态附近,还是离平衡状态越走越远,军备竞赛规模越比越大,就有可能导致战争。
下面我们要从定量的角度来解释这个问题,因此有必要先从稳定性的概念说起:
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为了叙述表达方便,我们以二维系统为例:
(2)
其平衡点是使
点
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平衡点为稳定的定义: ,使得对任意一个偏离平衡点足够小的初始状态,由解的存在唯一性,方程(2)存在唯一的解
满足初始条件,如果这个解
{x(t),y(t)}满足
则称方程组的平衡点是稳定的。
如果它还满足当时
则称平衡点是渐近稳定的。
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注:我们下面所遇到的稳定都是指上面定义中的渐进稳定。
设f(x,y),g(x,y)在点的某个邻域内连