线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案.pdf

文档介绍：第五章
二次型
习题五
(B)
1、设 A 为 n 阶实对称矩阵,如果对任一 n 维列向量 X  R n ,都有 T AXX  0 ,试
证:A=O。
证明:因为矩阵 A 为实对称矩阵,设为
 aaa 
 1211  1n 
 2221 aaa 2n 
A= ,其中(i,j=1,2,…,n).
 aa jiij


 nn 21  aaa nn 
令 X= T n
21  xxx n ),,,(  R ,
n
由已知得,二次型 T 2 。
21  xxxf n ),,,( = X AX =  xa iii + 2  xxa jiij =0
i1 1  nji
首先取 T ,, ,… n)
X  i )0,,0,1,0,,0( (i=1,2
T
则 aA iiii  0 2,,…,(i=1, n)
即主对角线上的元素都为零。
T T
其次,取 X )0,,0,1,0,,0,1,0,,0( , 又 AXX  0 ,有
 aaaa jiijjjii  0 ,
因 aa jjii  0 ,A 为对称矩阵,所以
aij  02 2,…,(i=1, n;j=1,2,…,n)
因此 A=O。
2、试证:二次型
n
2
21  xxxf n ),,,( =2 xi +2  xx ji
i1 1  nji
为正定二次型。
证明:此二次型的矩阵为
 1112 

 1121 
A= ,

 1211 

 2111 
12
显然A1=2>0,A2= =3>0,
21
 1112  1111  1111
 1121  1121  0010
An= = n )1( = n )1( =n+1>0,
 1211  1211  0100
 2111  2111  1000
因此,此二次型为正定二次型。
3、设 n 元二次型
2 2 +…+ 2
21  xxxf n ),,,( =  xax 211 )( +  xax 322 )( (  11 xax nnn )
2
+  nn xax 1 )(
其中 ai (i=1,2,…,n)为实数。试问:当 ai (i=1,2,…,n)满足何种条件时,二次型
为正定二次型。
, x21  xxf n ),,(
解:由题设条件知,对于任意的,有。其中等号成
21 ,,, xxx n 21  xxxf n  0),,,(
立当且仅当
 xax 211  0

xax 322  0


 xax  0
 11 nnn
 nn xax 1  0
此方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
1 a1  00
 0010
n1 ,
=1 )1(