文档介绍：定义 (证明) 相似矩阵与若尔当标准形
相似的条件
相似矩阵的应用(相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】)
矩阵的相似及其应用
矩阵的相似
:设为数域上两个级矩阵,如果可以找到数域上的级可逆矩阵,使得,就说相似于记作
相似的性质
(1)反身性:;这是因为.
(2)对称性:如果,那么;如果,那么有,使,令,就有,所以。
(3)传递性:如果,,那么。已知有使,。令,就有,因此,。
相似矩阵的性质
若,,则:
(1);
引理:是一个矩阵,如果是一个可逆矩阵,是可逆矩阵,那么秩()=秩()=秩()
证明:设相似,即存在数域上的可逆矩阵,使得,由引理2可知,秩()=秩()=秩()=秩()
(2)设相似于,是任意多项式,则相似于,即
证明:设
于是,

由于相似于,则相似与,(为任意正整数),即存在可逆矩阵,使得,
因此

所以相似于。
(3)相似矩阵有相同的行列式,即;
证明:设相似,即存在数域上的可逆矩阵,使得,两边取行列式得:,从而相似矩阵有相同的行列式。
又由性质(2)知,有相同的特征多项式,因而有相同的特征值,而的迹,的迹,从而,即相似矩阵有相同的迹
(4)与有相同的标准形;
(5)相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明:设相似,由性质2可知,若可逆,即,从而,故可逆;若不可逆,即,从而,故不可逆。
(6)若与相似,相似,则相似。
证明:与相似,即存在可逆矩阵,使得,相似,即存在可逆矩阵,使得,由于

显然是可逆矩阵。由此可见,则相似。
:线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明:先证前一部分。设线性空间中线性变换在两组基:
(1) (2)
下的矩阵分别为和,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为,则:
,
于是
由此可得
现在证后一部分。设级矩阵和相似,那么它们可以
看作是维线性空间中一个线性变换在基下
的矩阵。因为,令:
,显然, 也是一组基,在这组基下的矩阵
就是。
例一:证明与相似,其中是的一个排列。
证明:设:,则,因为和是线性变换在不同基下的矩阵,故它们相似。
:设是数域上的两个级矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价。
例一:设是实数,,,证明与相似。
证明:
故和等价,从而
3,矩阵相似的应用

:把矩阵(或线性变换)的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵(或线性变换)的初等因子。
:数域上的方阵相似的充要条件是和有相同的列式因子。
:两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。
例1:证明:任何方阵与其转置方阵相似。
证明:因为与互为转置矩阵,它们对应阶子式互为转置行列式,故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子,于是两者有完全相同的不变因子。故与等价,从而与相似。
例2:证明:相似方阵有相同的最小的多项式。
证法一:设相似,即可存在