函数周期性结论总.doc

文档介绍：函数周期性结论总结
① f(x+a)=-f(x) T=2a
② f(x+a)=± T=2a
③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b|
证明: 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x)
根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b
④f(x)为偶函数,且关于直线x=a对称,T=2a
证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x)
证明:因为偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为关于x=a对称
所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质)设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以周期T=2a)
⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a对称,T=4a
证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a
证明:由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a得:f(x+2a)=f(-x)
又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a得:
f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a
⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数,用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)
f(x+2a)=-f(x-a) 换元:令x-a=t 那么x=a+t
f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a
⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称,T=2|a-b|
证明:f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)
假设a>b (当