文档介绍：函数的单调性
观察函数y=2x+1的函数值随自变量x变化的规律
f(x)=2x+1的函数值随自变量x的增大而增大
x
y
o
y=2x+1
观察函数y=-2x+1的函数值随自变量x变化的规律
f(x)=-2x+1的函数值随自变量x的增大而减小
x
y
o
y=-2x+1
0
x
y
-2
1
2
3
-1
-3
3
1
2
4
观察图象:
图象在y轴右侧部分是上升的,也就是说,当x在[0, +∞)上取值时,随着x的增大,相应的y值也随着增大。即如果取, ∈[0, +∞) , 那么当< 时,有 f( )<f( ). 这时我们就说函数f(x)= 在[0,+∞)上是增函数,即函数f(x)=x2在[0, +∞)上单调递增。
图象在y轴左侧部分是下降的,也就是说,当x在(- ∞,0)上取值时, 随着x的增大,相应的y值反而随着减小。即如果取, ∈(- ∞,0),那么当< 时,有f( )>f( ). 这时我们就说函数 f(x)= 在(- ∞,0)上是减函数,即函数f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减。
f(x)=
作函数f(x)=x2的图象,
函数的单调性
定义:
一般地,设函数的定义域为I :
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值, ,当< 时,都有f( )<f( ) ,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
0
y
x
y=f(x)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
若取某区间上任意两个实数x1,x2,且x1<x2
f(x1)<f(x2),
则f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值, ,当< 时,都有f( )>f( ) ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
0
y
x
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
x1
x2
若取某区间上任意两个实数x1,x2,且x1<x2
f(x1)>f(x2),
则f(x)在这个区间上是减函数。
(1)函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f (x)的单调区间.
(2)在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的,减函数的图像从左向右是下降的.
(3)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,例如:y=x² 在[0, +∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数;但在(-∞, +∞)(-∞, +∞)上也不是单调函数.
因此:说哪个函数是单调增(或减)函数时,一定要指明是在哪个区间.
注意:
【例1】(1) 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数.
3
0
x
y
-1
-3
1
-2
2
3
1
2
4
4
5
-4
-5
-1
-2
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1,3), [3,5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1,3)上是减函数,
在区间[-2,1), [3,5]上是增函数。
注意:区间与区间之间只能用“,”隔开,
不能用“U”连接起来。
0
x
y
-2
1
2
3
-1
-3
3
1
2
4
f(x)=
【例1】
(2)如图,说出f(x)=x2的单调区间。
解: (-∞,0)是函数f(x)=x2减区间,
[0,+∞)是函数f(x)=x2增区间。