文档介绍：高中数学椭圆的知识总结
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平面内一个动点P到两个定点的距离之和等于常数(),,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意:若,则动点P的轨迹为线段;若,则动点P的轨迹无图形.
(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。
2. 椭圆的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2; ④离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。⑥
(2).点与椭圆的位置关系:①点在椭圆外;
②点在椭圆上=1;③点在椭圆内
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(1)相交:直线与椭圆相交;(2)相切:直线与椭圆相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;
如:直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______;
(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)
:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。
:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
如(1)如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是;
(2)已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______;
(3)试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称;
特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
椭圆知识点的应用
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任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。
可借助右图理解记忆:
恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。
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①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定