文档介绍：北京交通大学
2011-2012学年第二学期《概率论与数理统计(B)》期中考试试卷(A)
学院_____________ 专业___________________ 班级____________
学号_______________ 姓名_____________
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总分
得分
阅卷人
请注意:本卷共十三大题,如有不对,请与监考老师调换试卷!
一(满分8分)已知求
解由概率乘法公式----2分
由概率加法公式----2分
----2分
----2分
二(满分10分)高射炮向某飞机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),,又知若飞机中一弹,;若飞机中两弹,;若中三弹则必然坠落. (1) 求飞机被击落的概率;(2) 若飞机被击落,求它中两弹的概率。
解令因每弹击中与否相互独立,故有

则
----2分
由题意得
由全概率公式

-------4分
由贝叶斯公式
-------4分
三(满分6分)甲箱中有9个黄球和1个白球,乙箱中有10个黄球. 每次从甲、乙两箱中随机各取1球交换放入另一箱中,这样做了3次,求白球出现在甲箱中的概率.
解设则
-----1分
故
= -----2分
= ------3分
四(满分14分)已知随机变量的概率密度为
(1)求常数;
(2)在对进行的5次独立观察中,试求的值都小于1的概率.
(3)令求Y的分布律.
解(1)由于
则
因此----4分
(2) == -------4分
令Y表示5次独立观察中X的值小于1的概率的次数,则

----2分
(3)

则Y的分布律为
-1 1
P ——4分
五(满分8分) 连续地做某项试验,+1次试验成功的概率是当第k次试验失败时第k+1次试验成功的概率是若第一次试验成功的概率为记为首次获得成功时所需的试验次数,求的分布律.
解由题意知显然
------2分
------2分

即

1 2 3 …
…
———4分

六(满分8分)设连续型随机变量的分布函数为
(1)求常数a和b;
(2)求X的概率密度.
解:(1)由在-1和1处的连续性得
-----1分
即
-----2分
解得
------1分
因此
(2) ------4分
七(满分10分) 已知随机变量在三角形区域D:内服从均匀分布,
写出随机变量的联合密度函数.
判断随机变量X与Y是否相互独立并写出理由.
解(1)因三角形区域D的面积为,故的联合概率密度为
——4分
(2)由于当时
——2分
当时
——2分
从而当时

因此X与不独立.
——2分
八(满分10分)设随机变量具有联合密度函数为

求边缘概率密度
求条件概率密度
解(1)当时,

则
——3分
当时,

因此

——3分
(2)当时,

——4分
九(满分6分)已知随机变量令求
解由正态分布的性质,可得
则
----6分
十(满分10分)设随机变量的联合密度函数为

(1)的概率密度;
(2)
解(1) Z=X+Y的概率密度为
——2分
仅当即时上述积分的——1分
z
x=z-
O x
x=z
图4
被积函数不等于零,参考图4,即得
= ——4分
(2) -----3分
十一(满分10分)设为两个随机事件,且令

求: (1)二维随机变量的联合分布律;
(2) 的方程至少有一个实根的概率.
(3) 的分布律.
解: 由于
故
则-----1分
-----1分
-----1分
-----1分
即的分布律为
-1 1

-1
1
(2) 方程当且仅当在时至少有一实根,因而所求的概率为
——2分
(3) 的所有可能的取值为-1,1.