文档介绍：高2012级“数学大观园”(二) 恒成立问题及方法大观
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【第一部分】恒成立问题解题策略
恒成立问题是历年高考的一个热点,这类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用。涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力。
恒成立问题在解题过程中有以下几种策略:①赋值法;②一次函数法;③二次函数法;④分离参数法;⑤数形结合法。
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。
策略一、赋值法——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
,
定义映射,则( )
C.-1
,那么( ).
B. C . D.
策略二、一次函数法——利用单调性求解
给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图象(线段)
(如下图) 可得上述结论等价于(ⅰ),或(ⅱ) 可合并为
n
m
o
x
y
n
m
o
x
y
同理,若在内恒有,则有
,求使不等式恒成立的的取值范围.
练****2、若不等式对满足的所有都成立,求的取值范围。
策略三、二次函数法——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解,即
恒成立;恒成立
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,则应该利用韦达定理以及根的分布的知识求解。
例3. 若函数的定义域为R,求实数的取值范围。
练****3、已知函数, 在R上恒成立,求的取值范围。
【变式1】若时,恒成立,求的取值范围
【变式2】若时,恒成立,求的取值范围.
①,②,③.要使同时满足①②的所有的值满足③,求m的取值范围。
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题。
策略四、分离参数——分离参数,化为最值
运用不等式的相关知识不难推出如下结论:
若,存在最大值和最小值,对于区间上的任意,都有恒成立,则;
对于区间上的任意,都有恒成立,则。
例5 、函数是奇函数,且在上单调递增,又,若对所有的都成立,求的取值范围。
练****5、定义在R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当时,有
恒成立,求实数m的取值范围.
练****6、已知向量,若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围。
策略五、数形结合——直观求解
,不等式恒成立,求实数的范围。
对任意实数,不等式恒成立,求实数的范围;
对任意实数,不等式恒成立,求实数的范围。
练****10、如果对任意实数x,不等式恒成立,则实数的取值范围是
练****11、已知且,当时,不等式恒成立,则的取值范围是
练****12、设,,求使
的实数的取值范围。
[第二部分】高考题集锦(07--09)
1(08年江西卷理12).已知函数,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)
2 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是
(A) (B)