文档介绍：§2 线性变换的运算
§3 线性变换的矩阵
§4 特征值与特征向量
§1 线性变换的定义
§6线性变换的值域与核
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式
§7不变子空间
小结与****题
第七章线性变换
§5 对角矩阵
一、线性变换的定义
二、线性变换的简单性质
§ 线性变换的定义
引入
在讨论线性空间的同构时,我们考虑的是一种
保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称
线性变换.
映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射
两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性
一、线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间,若变换
满足:
则称为线性空间V上的线性变换.
注:几个特殊线性变换
由数k决定的数乘变换:
事实上,
单位变换(恒等变换):
零变换:
例1. (实数域上二维向量空间),把V中每
一向量绕坐标原点旋转角,就是一个线性变换,
表示,即
用
这里,
易验证:
例2. 为一固定非零向量,把V中每
一个向量变成它在上的***影是V上的一个线
性变换. 用表示,即
这里表示内积.
易验证:
例3. 上的求微商是一个线性变换,
用D表示,即
例4. 闭区间上的全体连续函数构成的线性空间
是一个线性变换.
上的变换
1. 为V的线性变换,则
,即
若
则

二、线性变换的简单性质
的向量组. 即
若线性相关,则
也线性相关.
事实上,若有不全为零的数使
则由2即有,
线性相关的向量组. 如零变换.
事实上,线性变换可能把线性无关的向量组变成
注意:3的逆不成立,即
线性相关, 未必线性相关.