文档介绍：第五节
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
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对坐标的曲面积分
第十一章
一、有向曲面及曲面元素的投影
•曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
麦比乌斯带(莫比乌斯带)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分左侧和右侧
(单侧曲面的典型)
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玩一玩: 莫比乌斯带
——单侧曲面
其方向用法向量指向
方向余弦
> 0 为前侧
< 0 为后侧
封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
外侧
内侧
•设为有向曲面,
侧的规定
指定了侧的曲面叫有向曲面,
表示:
其面积元素DS 在 xOy 面上的投影区域
DS在 xOy 面上的投影,记为( DS )xy ,
类似可规定
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约定
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面的流量.
分析: 若是面积为S 的平面,
则流量是底面积为S、斜高
法向量:
流速为常向量:
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为的斜柱体体积:
如果S是曲面, 流速不是常向量呢?
对一般的有向曲面,
用“分割, 近似代替, 求和, 取极限”的思想,
对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
进行分析可得
, 则
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设为光滑的有向曲面,
总存在,
其中R 叫做被积函数;
叫做积分曲面.
如果对于任意分割及任意选取的点,下列极限
2. 定义.
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记作
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由此,引例中,流过有向曲面的流体的流量为
若记正侧的单位法向量为
令
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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3. 性质
(1) 若
且 Si 之间无公共内点, 则
(2) 用ˉ表示的反向曲面, 则
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计算对坐标的曲面积分要注意积分曲面所取的侧.