文档介绍：考前30天之备战2011高考数学冲刺押题
【押题1】已知椭圆的离心率为,其中左焦点F(-2,0). (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求的值.
【押题指数】★★★★★
【押题指数】★★★★★
【解析】:(Ⅰ)由e2===1−=, 得a=b …2分由点A(0,a),B(−b,0)知直线AB的方程为+=1,即lAB:4x−3y+4b=0又原点O到直线AB的距离==, ∴b=3,…4分∴b2=9,a2=16从而椭圆M的方程为:.……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(0,4),B(−3,0),而直线lPA:x=my−4,∴4m−4=0,Þm=1,即lPA:x−y+4=0,…6分设P(x0,y0),则, ∴x02==(16−y02),kPC·kPA=´===−
∴kPC=−=−−,…9分∵·=0,∴kPCkBD=−1,即kBD=−=,…11分
又B(−3,0),∴直线BD的方程为y=(x+3)即9x−16y+27=0…12分
注:本问也可先求出P点坐标,再求直线方程.
【押题3】设椭圆C的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为,左焦点到左准线的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C上有不同两点P、Q,且OP⊥OQ,过P、Q的直线为l,求点O到直线l的距离.
【押题指数】★★★★★
④代入①满足,因此原点O到直线l的距离.…… 12分
【押题4】已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点坐标为(,0),短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,)在线段AB的垂直平分线上且·≤4,求的取值范围.
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ)由题意知a=2b,c=,a2=b2+c2解得a=2,b=1∴椭圆方程为+y2=1.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知A(-2,0),设B点坐标为(x1,y1),直线l的方程为y=k(x+2)于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程消去y并整理得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0由-2x1=得
x1=,从而y1=设线段AB的中点为M,则M的坐标为(-,)(7分)
以下分两种情况:①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,
于是=(-2,-m),=(2,-m),由·≤4得:-2≤m≤2.(9分)
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x+)令x=0,得m=-
由·=-2x1-m(y1-m)=+ (+) =≤4
解得-≤k≤且k≠0(10分)∴m=-=-∴当-≤k<0时, +4k≤-4
当0<k≤时,+4k≥4∴-≤m≤,且m≠0(12分)综上所述,-≤≤,且≠0.(13分)
【押题5】设点到直线的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2,并记点M的轨迹曲线为C。(I)求曲线C的方程;(II)设过定点(0,2)的直线与曲线C交于不同的两点E,F,且(其中O为坐标原点),求直线的斜率k的值; (III)设是曲线C的两个顶点,直线与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值。
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ)设曲线上的任意一点则有化简得: ………4分
(Ⅱ)设直线的方程为,与椭圆的交点
,
或同,,…6分因为与椭圆交于不同的两点且=90得,,,
, 解得:(满足或)………8分
(Ⅲ) 解方程组得;
即,
…10分
因为所以(当且仅当时取等号)即的最大面积为(当时取等号) ……12分
【押题6】已知圆:,点,,点在圆上运动,的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)设分别是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若,为坐标原点,求直线的斜率;(Ⅲ)过点,且斜率为的动直线交曲线于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出
的坐标,若不存在,说明理由.
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ) 因为的垂直平分线交于点. 所以
所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆……2分设椭圆的标准方程为则,,则椭圆的标准方程为……4分
(Ⅱ) 设,则①因为则②由①②解得…7分
所以直线的斜率……8分
由假设得对于任意的,恒成立,即解得……13分因此,在轴上存在满足条件的定点,点的坐标为…14分
【押题7】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当< 时,求实数取值范围.
【押题指数】★★★★★
【解析】(Ⅰ)由题意知, . 2分
又因为,