文档介绍：第二节偏导数及其在经济分析中的应用
教学目的:理解并掌握偏导数概念,.
重点:正确求出所给函数的偏导数.
难点:分清常量与变量,正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数.
教学方法:启发式讲授与指导练习相结合
教学过程:
偏导数的定义及其计算方法
二元函数的全增量.
二元函数对的偏增量.
二元函数对的偏增量.
1、二元函数偏导数的定义
【定义】
(1) 设函数在点的某一邻域内有定义,若一元函数在处存在导数,则称此导数值为在点处对的偏导数,并记作
,,或.
显然.
(2) 同样可定义函数在点处对的偏导数:
结论:(1)当在点处同时存在对,的偏导数时,简称在点可偏导.(2)当在平面某一区域内每一点处都存在对,的偏导数时,则称函数在该区域内有偏导函数,记作
也简称偏导数.
2、多元函数偏导数的定义
设,若一元函数在处存在极,
则称此极限为在点处对的偏导数,并记作
,,或.
3、偏导数函数
设区域,若在内每一点对的偏导数都存在,那么就是的函数,
,,或.
可见,函数在处的值为偏导数.
以后在不混淆的情况下,将偏导函数也称为偏导数.
4、偏导数的计算法
(1)二元函数情况
①将中的看作常量而对求导可得.
②将中的看作常量而对求导可得.
例1(1) 求在点处的偏导数.
解:, .
, .
(2 )求在点的偏导数.
解: , .
例2求下列函数的偏导数
(注意理解复合函数求导数:层层求导,导数相乘的含义)
(1)求.
解: , .
(2)
解:
.
(3)
解:.
(4)设,其中可微,求
解:
(5)(考虑两层复合的函数)
解:
(6)(考虑三层复合的函数)
解:
.
另解.
.
(7)
解:,.
(8)
解:,
,
.
(9)
解:.
(10)
解:
.
(11*)
解:,.
(12)设函数,求偏导数.
解:.
结论:函数在一点的偏导数存在时并不一定在该点连续,但在点对的偏导数存在,一定关于是连续函数,同样函数在一点对的偏导数存在,.
提问:二元函数的两个偏导数存在,且,,则( ).
(a)当保持不变时,是随的增加而单调增加的
(b)当保持不变时,是随的增加而单调增加的
(c)当保持不变时,是随的增加而单调减少的
(d)当保持不变时,是随的增加而单调减少的
答(a,d).因为表示当保持不变时,是的单调增加函数
表示当保持不变时,是的单调减少函数.
例3() 设,可导,则.
解,
,
.
例4 设,求证.
证明: 因, ,
所以
(2)多元函数情况
将中所有看作常量而对求导可得.
例5 求的偏导数.
解: ,
, .
例6 已知理想气体的状态方程(为常数),
求证:.
证明: 因, ,
.
所以.
5、二元函数偏导数的几何意义
偏导数就是曲面被平面
所截得的曲线在点处的
就是曲面被平面
所截得的曲线在点处的切线
对轴的斜率.
6、偏导数与连续的关系
一元函数中在某点可导连续,
但是多元函数中在某点偏导数存在连续.
例如:设
由于,
.
即在点两个偏导数都存在,但在点显然间断. 因为.
又如,在点处两个偏导数均存在且为0,但是在点不连续,因为
极限不存在.
例是否存在一个函数,使得,?
(分析:
,所以这样的不存在.)
二、高阶偏导数
1、高阶偏导数:设偏导函数在区域内存在有偏导数,则称此偏导数为的二阶偏导数,并记作,,
同理: ,,
,等等.
例7 设,于是
, ;
, ;
, .
例8 求函数的二阶偏导数.
解:,
,
,
.
例9求函数的二阶偏导数.
解:
,
;
.
例10() 已知,求.
解
,
.
例11() 设具有二阶连续导数,且,求.
解由条件知,
,