第一单元 二元函数及其偏导数.doc

文档介绍：第一单元二元函数及其偏导数
第一节二元函数的概念
一、学习目标
通过本节的学习,理解二元函数的概念、能在生活具体事物中抽象出二元函数的概念,会求二元函数的定义域、了解二元函数的几何意义.
二、内容讲解

多元函数与一元函数类似,学习时应注意比较.
一元函数是含有一个自变量的函数:
:
二元函数:,三元函数:等等.

一元函数在直角坐标系中,,通常表示一张曲面.
例如:表示中心在,半径为的上半球面.
表示椭圆抛物面.
表示上半圆锥面.
问题思考:二元函数与一元函数的共同点是什么?区别是什么?
答案:二元函数与一元函数的共同点:都是描述变量之间的对应关系,值域都是数轴上的点组成的集合;二元函数与一元函数的区别:一元函数的定义域是数轴(直线)上的点组成的集合,二元函数的定义域是平面直角坐标系(平面)上的点组成的集合.
三、例题讲解
例1 如果圆锥体底半径为,高为,则其体积,,和是自变量,是因变量(函数).定义域:.
例2 黑白电视:在时刻屏幕上坐标为处的灰度为:,它是三元函数.
例3 在一个有火炉的房间里,在时刻,点处的温度是的函数:称为温度分布函数,它是四元函数.
例4: 求函数的定义域.
解:,定义域为
例5  求的定义域.
解:由所给函数,对数真数为正,又分母根式为正,有,即
四、课堂练习
练习1 函数的定义域为.
(分析:求函数定义域的方法、,那么根据实际问题的意义来决定函数的定义域;否则,根据函数的解析表达式,:(1)分母0;(2)偶次根号内的代数式;(3)对数中的真数0;(4)如果一个函数是由几个函数经过加、减、乘、除或复合运算后得到的,则该函数的定义域就是这些部分函数定义域的公共部分,即交集.(5)分段函数的定义域是各段函数定义域的全体组成,即并集.)
练习2 若函数,则 f(x+y,x-y)= .
(分析:;二元函数也是一种对应关系,只是情况稍复杂些,函数表示了两个变量相乘的对应关系).
五、课后作业
( ).
A) ;B) ;C) ;D)
        .
,求.
;2.;3.
第二节偏导数与全微分
一、学习目标
通过本节课的学习,弄清偏导数与全微分的概念,能熟练求解二元函数(表达式中不带函数符号)的偏导数与全微分.
二、内容讲解

二元函数在点处关于的偏导数
(注意到:取值不变,恒为)
记作:或.
类似地,关于的偏导数:
例如:
求偏导数,包括两个偏导数,一个是对求偏导,,,于是就可以用一元函数的微分法求导数