文档介绍： 二次型最优控制原理
设给定线性定常系统的状态方程为 
二次型性能指标函数[3]: 
其中:加权阵Q和R是用来平衡状态向量和输入向量的权重,Q是半正定阵,R阵是正定阵。
最优控制规律: 
其中:K为最优反馈增益,P为黎卡提矩阵方程的解。
黎卡提矩阵方程: 
则,最优反馈增益K为:
 LQR参数
由MATLAB语句K=lqr(A,B,Q,R),取Q=diag(1000,0,70,0),求得K=[- ,-,,],即为LQR控制器控制器参数[5]。
倒立摆简介
倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备,使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等,都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点,其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台,也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆,可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆;通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器,则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。
倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处,极富趣味性,学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法,加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造,成本廉价,因此在欧美发达国家的高等院校,它已成为常见的控制教学设备。
同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性,许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象,并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此,倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。
直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外,其控制系统的软件平台采用开放式结构,使学生建立不同的模型,验证不同的控制算法,供不同层次的学生进行实验和研究。
由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制,以及齿型带传动,固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台,可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验,让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
一. 系统组成及参数:
M
θ
x
m
F
倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F(N),是由拖动小车的直流伺服电机提供的;被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ(rad)和小车的位移x(m)。
实际倒立摆系统的模型参数:
M :小车的质量,;
m :摆杆的质量,;
b :小车的摩擦系数,/(m/sec);
L :摆杆的中心到转轴的长度,
J :摆杆对重心的转动惯量,×m2;
T :采样周期,;
:
rad,响应时间小于1秒
倒立摆系统的数学模型
应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。
对小车进行受力分析,如图1所示。图中P和N分别表示摆杆运动在水平方向和垂直方向上对小车的作用力(N),fv是小车的摩擦力,等于。
M
x
F
fv
P
N
图1 小车的受力分析图
根据牛顿定律,小车水平方向上的力平衡方程为:
(1)
摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系,对摆杆进行受力分析,如图2所示。
θ
mg
N
P
图2 摆的受力分析图
摆杆水平方向上的力平衡方程如下
(2)
将式(2)代入式(1)就得到系统的第一个运动方程
(3)
摆杆垂直方向上的力平衡方程如下
即(4)
由定轴转动定律:
得摆杆的转矩平衡方程式为
(5)
将式(2)(4)代入式(5),约去P 和 N ,得到系统的第二个方程:
(6)
由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组
(7)
因,故可假设和,并忽略项,得倒立摆系统线性方程
(8)
对方程(8)进行Laplace变换得到:
(9)
(10)
由式(9)可得
(11)
将式(11)代入式(10),整理得摆角的传函为:
= - (12)
其中。
将式(12)代入式(11),得小车位移的传函为:
(13)
倒立摆系统设计与仿真
将实际系统参数M =、m=、b=、L=、J=(12)和式(13),并用u来代表被控对象的输入力,从而得到倒立摆