文档介绍：高校应用数学学报
2010, 25(2): 134-140
一类时滞微分方程非常数周期解的存在性
及其个数估计
郭志明
(广州大学数学与信息科学学院, 广东广州 510006)
摘要: 应用变分方法与无穷维空间Morse理论研究方程
x˙= g(x(t − r)),
得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件, 并且给出其个数的
下界. 因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.
关键词: 时滞微分方程; 周期解; Morse理论; 非共振
中图分类号: ;
文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2010)02-0134-07
§1 引言
考虑一阶时滞微分方程
x˙= g(x(t − r)), (1)
其中r > 0是常数, x ∈ R, g ∈ C1(R, R).
本文的基本假设是
(g) g是奇函数, 并且当x →∞时, g′(x)的极限存在, 记为g′(∞), 其中g′(∞)是有限数.
对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones, Nussbaum及Kaplan和Yorke的工作. 早在1962年,
Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1]. 在[2]中, Nuss-
baum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解, 而Kaplan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常
微分方程方程组, 得出了方程(1)的2π周期解的存在性. 后来温立志, 陈永劭, 葛渭高等分别对该
方程进行了研究[4-6].
1998年, 李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性, 相关文
献可参阅[7-8]等. 在[7-8]中, 作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应
的Hamilton系统的周期解问题, 进而应用临界点理论研究相应Hamilton系统周期解的存在性.
但是我们注意到, 在一个特定的函数空间上, 方程(1) 是具有变分结构的微分系统. 2005年, 郭
志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架, 并应用
收稿日期: 2008-09-14
基金项目: 国家自然科学基金(10871053); 广州市教育局科技计划项目(62006)
郭志明: 一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计 135
伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性. 2006年, Fei[10-11]应用指标理论对方
程(1)作了更细致的讨论, 得到了重要的研究成果.
Morse理论是临界点理论的重要组成部分, 它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在
性及其个数估计方面有着非常广泛的应用. 而且一般说来, 应用Morse理论得到的周期解含有更
丰富的信息, 如临界点的Morse指标或临界值的估计等. 2000年, Abbondandolo在文[12]中介绍
了一种新的无穷维空间Morse理论. 一般说来, Hilbert空间上的强不定泛函, 其临界点的Morse指
标为无穷大. 对于这类泛函无法直接应用经典的Morse理论, 往往需要将所考虑的泛函约化到某
个有限