文档介绍：§1-2矩阵的相似变换,酉变换和正交变换重点:正交矩阵,酉矩阵第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变一、特殊的矩阵介绍1、实矩阵:若,则实矩阵线性空间元素为实数!*正交矩阵:若(是一种实矩阵!)则称[A]为正交矩阵!若为实对称方阵为反对称方阵第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变正交矩阵与正交相似变换密切有关!即正交矩阵用于正交相似变换!2、复矩阵:特别注意这两种复矩阵:Hermite矩阵酉矩阵两种重要的复矩阵!若则为复数矩阵复线性空间元素为复数!例如:—复数矩阵。第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变—为复数单位。*Hermite矩阵是对称复数矩阵!注:这两种复矩阵的区别!即共轭转置!若则称为反对称Hermite矩阵。第一章基础知识第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变若则:——称为Hermite矩阵。若则[A]称为酉矩阵!例:是一酉矩阵。显然:酉矩阵是复矩阵,但复矩阵不一定是酉矩阵!实的酉矩阵是正交矩阵。酉矩阵用于酉变换!第一章基础知识第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变*酉矩阵定义:——n阶复方阵①单位矩阵是酉矩阵,也是正交矩阵;②若[U]是酉矩阵,[P]是正交矩阵,则酉矩阵与正交矩阵的条件!③若[U]是酉矩阵,[P]是正交矩阵,则[U]H也是酉矩阵,[P]T也是正交矩阵。证:证毕。第一章基础知识第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变3、酉矩阵和正交矩阵的性质(变换方法中用到!)④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵(或正交矩阵)⑤n阶酉矩阵[U](或正交矩阵[P])(或Rn)上的一组规范正交向量组。则乘积也是酉矩阵(或正交矩阵)证:即:一系列酉矩阵乘积仍是酉矩阵!一系列正交矩阵乘积仍是正交矩阵!后面用到!第一章基础知识第一章基础知识酉矩阵和正交矩振第2节矩阵的相似变换即:二、矩阵的相似变换:酉变换和正交变换1、相似变换定义:设如果存在非奇异方阵使成立则称相似,记的变换称为相似变换。变换矩阵!第一章基础知识第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变两种重要的相似变换!后面用的多!注:相似变换是一种很实用的矩阵变换!实用上,是构造一非奇异方阵[S],进行相似变换,使变换后[B]比[A]简单(例如:三角阵、三对角阵等),以便快速求出[A]的特征解。性质:①反身性:③传递性:若②对称性:——两种特殊的相似变换!用酉矩阵作为相似变换矩阵!用正交矩阵作为相似变换矩阵!酉矩阵正交矩阵第一章基础知识第一章基础知识第2节矩阵的相似变换酉矩阵和正交变设