第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解.ppt

文档介绍：MATLAB程序设计教程(第二版)
刘卫国主编


中国水利水电出版社
第6章 MATLAB解方程与最优化问题求解
MATLAB线性方程组求解
MATLAB非线性方程数值求解
MATLAB常微分方程初值问题的数值解法
MATLAB最优化问题求解
线性方程组求解
直接解法

对于线性方程组Ax=b,可以利用左除运算符“\”求解:
x=A\b
例6-1 用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
x=A\b

矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解,以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。
(1) LU分解
矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明,只要方阵A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。
MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解,其调用格式为:
[L,U]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L(行交换),使之满足X=LU。注意,这里的矩阵X必须是方阵。
[L,U,P]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P,使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须是方阵。
实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb),这样可以大大提高运算速度。
例6-2 用LU分解求解例6-1中的线性方程组。
命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[L,U]=lu(A);
x=U\(L\b)
或采用LU分解的第2种格式,命令如下:
[L,U ,P]=lu(A);
x=U\(L\P*b)
(2) QR分解
对矩阵X进行QR分解,就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解,其调用格式为:
[Q,R]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R,使之满足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E,使之满足XE=QR。
实现QR分解后,线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
例6-3 用QR分解求解例6-1中的线性方程组。
命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
b=[13,-9,6,0]';
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q\b)
或采用QR分解的第2种格式,命令如下:
[Q,R,E]=qr(A);
x=E*(R\(Q\b))