N次单位根的性质及其应用_毕业论文.doc

文档介绍：分类号
编号
毕业论文
题目N次单位根的性质
及其应用
学院
姓名 xxxxxxx
专业数学与应用数学
学号
研究类型应用研究
指导教师 xxxxx
提交日期
原创性声明
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论文作者签名: 年月日
论文指导教师签名:
目录
N次单位根的定义 2
N次单位根的性质 2
N次单位根的应用 4
N次单位根在中学数学竞赛中的应用 4
N次单位根在因式分解中的应用 5
N次单位根在几何中的应用 7
N次单位根在多项式整除中的应用 8
N次单位根在三角函数中的应用 9
N次单位根的性质及其应用
xxx
(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水 741000)
摘要:n次单位根是复变函数论中的重要内容,本文主要论述n次单位根的性质,以及在因式分解,几何作图,三角函数,多项式整除中的应用,说明n次单位根可拓宽解题思路,是一种方便快捷的解题方法。.
关键词:单位根;因式分解;性质;几何画图
中图分类号: O29
N次单位根的定义
定义一在复数域上的n个值; k=0,1,2,…,n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根.
定义二在复数域上的n个值=,k=0,1,2,…,n-1就是多项式的n个根,称它们为n次单位根
N次单位根的性质
(1)=1
证明由定义一,得
===1
(2)令ξ==,则,k=1,2,…,n-1
证明由欧拉公式(),知
===,即
,k=1,2,…,n-1
(3)= (mk<n)
由定义二知
===
(4)对于每个单位根:1+++…+=0
证明因为=(x-1)(1+x++…+),令x=,则
原式可变为,=(-1)(1+++…+)=0
当≠0时,≠0,所以
1+++…+=0
(5)对于每个单位根:1+++…+=n(当n整除m时)
1+++…+=0(当n不整除m时)
证明由于为n次单位根则=1
当n整除m时,令m=nq,则===1
同理:==1
故1+++…+=1+1+…+1=n
当n不整除m时,
≠1,由知:
1+++…+=
==0
(6)两个n次单位根的乘积与商仍是n次单位根
证明
令、是n此单位根,则
=·=1×1=1
===1,命题得证.
(8)·=
证明
由定义二,得
·=·===,即
·=
(9)=(0<k<n);
证明
因为=+i
=—
则=+i
=+i
=+i
=+i
=-i=
N次单位根的应用
⑴N次单位根在中学数学竞赛中的应用
例1(2001年全国高中数学联赛)若的展开式为+x+…+,
求+++…+的值.
解:令=+++…+
=++…+
=++…+
在=+x+…+中,令x=1,ξ(ξ是三次单位根,ξ≠0),则
++= ⑴
=+++…+,即
+ξ+ξ=0 ⑵
在⑵中ξ、ξ按实、虚部分别展开,并由复数相等可得
-(+)=0 ⑶
·-·=0 ⑷
则由⑴、⑶、⑷得=÷3
故+++…+=
例2(1978年我国八省市中学数学竞赛)设ξ=+isin,求以ξ、、、为根的方程.
解:因为ξ=+isin,则ξ=+所以ξ、、、…、是1的10个10次方根,则
(x-ξ)(x-)…(x-)=-1 ⑴
又、、、、是1的5个5次方根,则
(x-)(x-)(x-)(x-)=-1 ⑵
由⑴÷⑵,的
(x-ξ)(x-)(x-)(x-)(x-)=+1
又=-1,x-=x+1,
所以(x-ξ)(x-)(x-)(x-)==-+-x+1,即
所求方程为,-+-x+1=0
⑵N次单位根在因式分解中的应用
例在有理数范围内对-1进行因式分解.
解:在复数范围内-1可分解为一次因式的乘积:
-1=(x-1)(x-ξ)(x-)…(x-),其中ξ=+;
而1,ξ,,…,是方程-1=0即=1的全体复数根.
再将-1的15个复系数一次因式分成若干组,使每一组的乘积是有理系数多项式.
-1=0的所有的复数根也就是所有的15次单位根,,由于1、3、5都是15的因数,满足条件
=1或=1或=1的复数z也都满足条件=1,都是-1的根,也就是说1次单位根,3次单位根,,存在最小的正整数d,使得=1,