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文档介绍：第四节一阶线性微分方程
一、线性方程
二、伯努利方程
三、小结思考题
一阶线性微分方程的标准形式:
上方程称为齐次的.
上方程称为非齐次的.
一、线性方程
例如
线性的;
非线性的.
齐次方程的通解为
1. 线性齐次方程
一阶线性微分方程的解法
(使用分离变量法)
2. 线性非齐次方程
讨论
两边积分
非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比:
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换.
作变换
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
解
例1
例2 如图所示,平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线.
两边求导得
解
解此微分方程
所求曲线为
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程.
二、伯努利方程
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.