文档介绍：课题: 微分中值定理
目的要求:
掌握罗尔中值定理的条件与结论
掌握拉格朗日中值定理的条件与结论
掌握柯西中值定理的条件与结论
掌握拉格朗日中值定理的应用
教学重点:
掌握拉格朗日中值定理的应用
教学难点:
掌握拉格朗日中值定理的应用
教学课时:2
教学方法: 讲练结合
教学内容与步骤:
罗尔中值定理
引理(费马):设y =f (x)在开区间(a, b)内有定义. 在x0Î(a, b)处取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0处可导, 则 f '(x0) = 0.
证: 因f (x)在x0处可导.
设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, "xÎ(a, b), 有 f (x) £ f (x0).
故当|Dx|充分小时, 有x0+Dx Î(a, b), 从而: f (x0+Dx) – f (x0) £ 0
(1)当Dx >0时, 令Dx ®0+,
由保号性定理,
(2)当Dx <0时, 令Dx ®0–,
由保号性定理,
综合(1),(2)有0 £ f '(x0) £0, 故 f '(x0) = 0,
类似可证f (x)在x0取最小值的情形.
注1: 因f '(x0)表示曲线y =f (x)上点M(x0, f (x0))处切线斜率. 而f '(x0)=0表示该点处切线斜率为0. 几何上表示: 若y =f (x)在(a, b)内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则在M(x0, f (x0))处的切线平行于x轴. 如下图左
注2: 若f (x)在区间[a, b]的端点a(或b)处取得最大(小)值. 不能保证f '(a)(或 f '(b))=0. 即, 在端点M(a, f (a))或M(b, f (b))处切线不一定平行于x 轴. 如上图右
定理(罗尔中值定理). 若y=f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内至少存在一点x , 使得 f ¢ (x 0=) .
证: 因f (x)在[a, b]上连续, 从而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1Î [a, b]
(1) 若 m=M , 因m £ f (x) £M. 即, M £ f (x) £M, 所以f (x)=M. 有f ' (x )=0, 故"xÎ (a, b)有 f ' (x )=0 .
(2) 若 m<M , 因f (a) = f (b). 故在m, M中必至少有一个不等于f (a) (= f (b)), 不妨设M= f (x)¹0, f (a)= f (b), 故 x0 ¹ a, x0 ¹ b, 从而x0Î (a, b). 由引理, f ' (x0=0), 记x = x0 , 即$xÎ (a, b)使 f ' (x)=0 .
注1: 几何意义: 若连续曲线y = f (x)除端点外处处有不垂直于x轴的切线. 且两端点的纵坐标相等. 则在曲线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x轴.
注2: 从方程的角度看, f ' (x)=0表示x是方程 f ' (x)=, 罗尔定理的意义是若f (x)满足定理条件, 则方程 f ' (x)=0在(a,