成都理工大学 高数下 重修 PPT 2阶线性微分方程.ppt

文档介绍：高阶线性微分方程
线性齐次方程解的结构
线性非齐次方程解的结构
n 阶线性微分方程的一般形式为
(二阶线性微分方程)
时, 称为非齐次方程;
时, 称为齐次方程.
证毕
一、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程
的两个解,
也是该方程的解.
证:
代入方程左边, 得
(叠加原理)
定理1.
说明:
不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解,
也是齐次方程的解
并不是通解
但是
则
为解决通解的判别问题,
下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
定义:
是定义在区间 I 上的
n 个函数,
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,
否则称为线性无关.
例如,
在(, )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如,
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点,
必需全为 0 ,
可见
在任何区间 I 上都线性无关.
若存在不全为 0 的常数
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
( 无妨设
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性
相关
(证明略)
线性无关
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解,
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
常数,
故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解,
则方程的通解为
则
二、线性非齐次方程解的结构
是二阶非齐次方程
的一个特解,
Y (x) 是相应齐次方程的通解,
定理 3.
则
是非齐次方程的通解.
证: 将
代入方程①左端, 得
②
①
是非齐次方程的解,
又Y 中含有
两个独立任意常数,
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
因此该方程的通解为
证毕
因而②也是通解.
定理 4.
分别是方程
的特解,
是方程
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.