成都理工大学 高数下 重修 PPT D11-7.8.9梯度、散度、....ppt

文档介绍：第七、八、九节
一、方向导数
定义: 若函数
则称
为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
在点
处
沿方向 l (方向角为
) 存在下列极限:
记作
定理:
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,
证明: 由函数
且有
在点 P 可微,
得
故
二、梯度
方向导数公式
令向量
这说明
方向:f 变化率最大的方向
模: f 的最大变化率之值
方向导数取最大值:
1. 定义
即
同样可定义二元函数
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:
向量
其中
称为向量微分算子或 Nabla算子.
( 为方向l 上的单位向量)
2. 梯度的几何意义
称为函数 f 的等值线或等高线.
则L*上点P 处的法向量为
举例
函数在一点的梯度垂直于该点等值线,
指向函数增大的方向.
同样,
的等值面(等量面).
当其各偏导数不同
其上点 P 处的法向量为
称为
时为零时,
等高线图举例
这是利用数学软件Mathematica
绘制的曲面及其等高线图, 带
阴影的等高线图中, 亮度越大
对应曲面上点的位置越高
等高线图
带阴影的等高线图
例. 设函数
解: (1) 点P处切平面的法向量为
在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.
故所求切平面方程为
即
(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.
求等值面
(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为
沿此方向的方向导数为
注意:
对三元函数,
与
垂直的方向
有无穷多
梯度的基本运算公式
例题.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性