成都理工大学 高数下 重修 PPT D10_3三重积分.ppt

文档介绍：一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
三重积分
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用

引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的
物质,
求分布在内的物质的
可得
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
定义. 设
存在,
称为体积元素,
若对作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
下列“乘
积和式”极限
记作
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
三次积分法
设区域
利用投影法结果,
把二重积分化成二次积分即得:
其中为三个坐标
例1. 计算三重积分
所围成的闭区域.
解:
面及平面
2. 利用柱坐标计算三重积分
就称为点M 的柱坐标.
直角坐标与柱面坐标的关系:
坐标面分别为
圆柱面
半平面
平面
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
因此
其中
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;
2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
其中为
例3. 计算三重积分
所
解: 在柱面坐标系下
及平面
由柱面
围成半圆柱体.
例4. 计算三重积分
解: 在柱面坐标系下
所围成.
与平面
其中由抛物面
原式=